考えてるんですが、さっぱりわかりません。どなたかこの問題を解いてくれま

質問

考えてるんですが、さっぱりわかりません。どなたかこの問題を解いてくれませんか？
正の整数ｎに対して、関数Fn(X)を次のように定義する。
F１（X)＝１　　F２（X)＝２ｘ　
Fn+1（X)=2xFn(X)-Fn-1(X)　（ｎ＝２，３，４・・・）
このとき、正の整数ｎに対して、Fn(cosx)＝sin（ｎα）/sinαとなることを示せ。
ただし、αは０＜α＜１８０度　を満たすものとする。

回答No.2

rabbit_cat

まあ、本当に細かいことを言うと、
＃１の回答だと、
Fn(X)を X=cosα という一点でのみでしか考えていないので、
そもそも、Fn(X) という関数が本当に存在するのか（きちんと定義されているのか）を確かめていないので、ちょっと回答として不足だ（必要条件であって十分条件ではない）、とイチャモンをつける変な人がいるかもしれません。

というわけで、
Fn(X)が全ての実数で定義できることは明らか
とか最初に書いておくとより完璧かもしれません。というか、問題文にそもそもＸの値域も書いてませんし、出題者も気にしないということなんだとは思いますが。

お礼

ありがとうございました。
助かりました。

回答No.1

rabbit_cat

＞ このとき、正の整数ｎに対して、Fn(cosx)＝sin（ｎα）/sinαとなることを示せ。
Fn(cosα)＝sin（ｎα）/sinα
の間違いですかね。

とりあえず、別に何にも難しく考える必要はなくて、何も考えずに数学的帰納法でも使っておけば終わりです。あるいは、３項間漸化式を真面目に解いてもできるのではと思います。

なんか、問題の見た目の複雑さ（関数とかが出てきて）に騙されているのかもしれませんが、
cosα は、単なる定数ですから、この問題は、
An = Fn(cosα)
と書くことにすれば、

A1 = 1，　A2 = 2cosα
An+1 = 2cosα×An - An-1　（ｎ＝２，３，４・・・）
のとき
An = sin（ｎα）/sinαとなることを示せ。

と言っているだけですよ。