数IIIの関数の最大、最小についての問題です。

質問

数IIIの関数の最大、最小についての問題です。

「nを1以上の整数とする。
関数fn(x)=(x/6)^n・e^(n-x)を考える。必要であれば、3.14＜π＜3.15であることを用いてよい。(1)fn(x)のx≧0での最大値、最小値を求めよ。
(2)関数gn(x)=sin｛(x/6)^(1-x/n)｝(x≧0),
hn(x)=(x/6)^(1-x/n) (x≧0)を考える。
hn(x)のx≧0での最大値、最小値を求めよ。
また、gn(x)のx≧0での最小値が-1かつ最大値が1となるような最小のnの値を求めよ。」

これはどのようにして解いていけば良いでしょうか？
また、問題を解く中で必要となる微分のやり方及び結果を、途中過程を含めて教えて頂きたいです。
fn(x)などの式はわかりづらいと思うので、添付した画像でご確認いただければと思います。宜しくお願い致します。

※答え
(1)x=nのとき最大値(n/6)^n
x=0のとき最小値0
(2)x=nのとき最大値n/6
x=0のとき最小値0
n=29

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
fn(x)=(x/6)^n*e^(n-x)
だからxで微分して
dfn(x)/dx=n/6*(x/6)^(n-1)*e^(n-x)+(-1)*(x/6)^n*e^(n-x)=(n/6-x/6)*((x/6)^(n-1)*e^(n-x))
これはx=0またはnで0，0<x<nで正，n<xで負であり，x→∞でdfn(x)/dx→0だから
fn(x)の最小値はx=0のとき0，最大値はx=nのとき(n/6)^n
(2)
hn(x)=(fn(x))^(1/n)だからhn(x)の最小値，最大値をとるxはfn(x)の場合と同じ。
したがってhn(x)の最小値はx=0のとき0，最大値はx=nのときn/6
またgn(x)=sin(hn(x))だから，hn(x)の挙動を考えると，gn(x)の最小値が-1かつ最大値が1であることはhn(x)の最大値が3π/2よりも大きいことと同値である。
したがってn/6>3π/2からn>9πであり，これを満たす最小のnは29である。

回答No.2

mitoneko

（１）のみ
　d(fn(x))/dxを考えます。
　まず、fn(x)の積の第二項の指数関数の部分の微分は、
　d(e^(n-x))/dx = d(n-x)/dx * e^(n-x) 【(n-x)=tと置いて合成関数の微分】
　　　　　　　= -e^(n-x)
　ですから、全体に積の微分公式を適用すると、
　d(fn(x))/dx = (1/6^n)*n*x^(n-1)*e(n-x)-(1/6^n)*x^n*e^(n-x)
　　　　　　=(1/6^n)*(n*x^(n-1)-x^n)e^(n-x)　　【(1/6^n)*e^(n-x)でくくる】
　　　　　　=(1/6^n)*x^(n-1)*(n-x)*e^(n-x) 【x^(n-1)でくくった。x^n/x^(n-1)=x】
　となります。
　これが、０になるところが極限となります。
　全体が積の形ですから、各項が０になるところが、その解となります。
　その解は、x=0とx=nの二つになります。（e^(n-x)>0ですからここに解はない。）
　fn(x)も積の形で、且つ、x>=0ですから、両項は0以上なのは明らかです。∴fn(x)>=0。

　fn(0)=0
　fn(n)=(n/6)^n 【fnに代入すれば、すぐに出てきますね。】
　これが、fn(x)のx>=0での極限ですから、
　最小値は、fn(0) = 0
　最大値は、fn(n) = (n/6)^n
　となります。

お礼

微分の仕方がとてもわかりやすくて助かりました。ありがとうございました。