関数の近似に関する問題

質問

「区間[0,2]で定義された関数　f(x)=x (0≦x≦1), 2-x (1≦x≦2)をkを正の整数として関数yk(x)=Σn=1～k Cn　sin（nπx/2)　で近似する。このとき、Mk=∫0～２ |f(x)-yk(x)|^2dxを最小とするようにCnを決める。このとき、M3を求めよ。」という問題が分かりません。どなたか教えてください。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

フーリエ級数展開を、その意義まで含めて学ぶための導入の問題だと思いますんで、素直にこつこつ計算するのが吉です。

　M[k]を最小にするようなC[1], C[2], …, C[k]は、k元連立方程式
　　∂M[k]/∂C[m] = 0 (m=1,2,....,k)
の解であるはずだから、これを解く。
　M[k]をC[m] (m=1～k)それぞれで偏微分すると、未知数C[1], C[2], …, C[k]についてのk元連立一次方程式が得られます。その係数には積分が入っていますから、それぞれ項別に積分を計算するんです。その際にまず、
　　 ∫{x=0～2} sin(nπx/2)sin(mπx/2)dx = m≠nのとき0, m=nのとき1
であること（この性質を「正規直交性」と言います）を証明すれば、項の数がばっさり減らせます。それから、
　　f(x) = f(2-x)
を利用して式を整理します。

　もちろん、最初にM[3]を展開しておいて計算すれば答は出ますし、それで結構です。ですが、それが出来たら次は「最初にM[3]を展開する」のはナシにして（Σをできるだけ温存して）解いてみて、さらに是非、一般にM[k]について解いてみて下さい。それによって得られる知見が実はとっても重要なんです。

お礼

回答を参考に解いたところ解決しました。ありがとうございました。

回答No.3

FT56F001

「最小二乗法としてf(x)を近似したときの残差Mk」を最小とするCn，ということは，
早い話がフーリエ係数，じゃないかな。

つまり，方針として
Step1「Mkを最小にするCnはフーリエ級数である」ことを示す。
Step2　f(x)のフーリエ係数を求める。

お礼

この問題の本質はそのようですね。回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

え? う～ん, それは....

Cn は「x に無関係な定数」だから, Mk 自体は計算できる. ただし C1～Ck が変われば Mk の値も変わるから, Mk は「C1～Ck の関数」といえる. この「C1～Ck の関数」としての Mk を最小化しろ, ってこと.

とりあえず「C1～C3 の関数」としての M3 を求めてみようや.

お礼

なんとか解けました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

この問題の文章のどこがわからないのですか?

お礼

「Mk=∫0～２ |f(x)-yk(x)|^2dxを最小とするようにCnを決める」という部分がよく分からず、手がつけられない状態です。