定積分と不等式の問題ののですが

質問

こんばんわ、今日は定積分の問題について
お聞きしたいのですが。

自然数ｎに対して、

a_{n}＝int_{0}^{1}x^(2n-1)e^(x^2)dx

とすると、a_{n}＞1/(2n)　　

（注）＞の所は大なりイコールです

を示してください。

どの様に解いたら良いのでしょうか？
教えてください、お願いします。

回答No.2

mmky

参考程度に

a_{n}=∫[0～1]x^(2n-1)*e^(x^2) dx
= ∫[0～1]x^(2n-2)e^(x^2)xdx　　--（1）

x＾2=y, 2xdx=dy, x=y＾(1/2)
と置いて整理しておくと、
a_{n}=(1/2)∫[0～1]y＾(n-1)*e^y dy　--（2）
ここでe＾y を級数展開式に変換して、
e＾y=Σ[r=0～N]y＾r/r!
を（2）に代入して、yについて積分をすると、
=(1/2)∫[0～1]y＾(n-1)*Σ[r=0～N]y＾r/r! dy
=(1/2)Σ[r=0～N]∫[0～1]y＾(n-1)*y＾r/r! dy
=(1/2)Σ[r=0～N]∫[0～1]y＾(n+r-1)/r! dy
=(1/2)Σ[r=0～N]y＾(n+r)/(n+r)r! |[0～1]
=(1/2)Σ[r=0～N]{1/(n+r)r!}
=(1/2){(1/n)+(1/(n+1))+(1/2(n+2))+・・
・・+(1/N!(n+N))・・｝
＞（1/2n)

というやりかたはありますね。

回答No.1

noname#108554

int_{0}^{1}x^(2n-1)e^(x^2)dx
>int_{0}^{1}x^(2n-1)min(e^(x^2))dx
>int_{0}^{1}x^(2n-1)dx
でどうでしょうか。