dv/dt=mg+Kv^2

質問

dv/dt=mg+Kv^2
を解くと、v(t)=√mg/Ktan(mgt+c) (c:任意定数)
が出ました。
ここから、v(0)をいくら大きくしても、v(T)=0を満たすTがπ/2√Kgを超えないことを示すにはどうしたら良いでしょうか？

回答No.4

htms42 · ベストアンサー

＃２です。
＃３の
＞速度の二乗に比例した空気抵抗を受ける質点の運動方程式
についてです。

運動方程式は
ｍｄｖ／ｄ＝ｍｇ＋Ｋｖ^2　　（Ｋ＞０）
です。下向きを正にしています。
上向きに投げると減速します。重力だけしか働いていない時よりも減速はきついです。
これだけを見ればＫｖ^2は「抵抗」であると言いたくなるかもしれません。
でも最高点を過ぎると重力と合わさって加速します。
「抵抗」とは運動の邪魔をするような力の働き方についての言葉です。初め減速だがあるところから加速に変わるような力にたいして抵抗という言葉を使うことはできません。鉛直真下方向に重力と重力とは別の力の2つが働いているということがいえるだけです。重力が減速の働きをしているからと言って抵抗であるとは言わないのと同じことです。当然「空気抵抗である」ということもできません。

運動によっては「速度の二乗に比例する空気抵抗」を考える時はあります。
その場合は普通Ｖ＞０の領域だけに運動を限っています。
ｍｄｖ／ｄｔ＝ｍｇ－Ｋｖ^2
1つの式でＶ＞０，Ｖ＜０の両方に対応することはできないのです。
（微分方程式の解も異なります。ｔａｎは出てきません。）
上に投げればどんな抵抗が働いていたとしても必ず落ちてきますから元の地面までの運動が表現できるような式になっていなければいけないはずです。

速度に比例する抵抗というのがよく出てきます。
ｍｄｖ／ｄｔ＝ｍｇ－Ｋ'ｖ
これは運動の方向と反対向きに働く力であるという条件が常に満たされています。
いつも邪魔をするのです。投げ上げてから最高点までの運動でも最高点から後の落下運動でも抵抗として働きます。その意味では使いやすい式だということになります。

回答No.5

hitokotonusi

横からですが、

in ANo.4
＞「抵抗」とは運動の邪魔をするような力の働き方についての言葉です。
＞初め減速だがあるところから加速に変わるような力にたいして抵抗という
＞言葉を使うことはできません

なので、この式は上昇するときにしか使えないのです。
下降するときには符号を変えて

dv/dt=mg-Kv^2

としなければなりません。

空気抵抗が速度の二乗に比例するときは、
登りと下りで運動方程式を使い分けるのです。

回答No.3

hitokotonusi

gの前のmが余分ですが、それを除けばこの式は、速度の二乗に比例した空気抵抗を受ける質点の運動方程式で、鉛直下方に座標の正方向を取り、質点が鉛直上方に運動している場合の式です。

おそらく時刻ゼロで質点を鉛直上方に投げ上げているので、
この座標の取り方では初速v(0)が負、結果、積分定数ｃが負になります。

解は、mを入れる入れないを除いてANo2さんのもので正しいです。

回答No.2

htms42

この式の意味が分かりません。
ｖは速度でしょうね。
ｇはなんでしょう。重力の加速度でしょうね。

そうであるとすれば次元が合いません。
左辺は加速度ですから右辺も加速度になります。
ｋ＝Ｋ／ｍ　として
ｄｖ/ｄｔ＝ｇ＋ｋｖ^2
です。重力の加速度以外に速度の２乗に比例する加速度があることになります。
（ｋは「１／（長さ）」の次元を持つ量になります。したがって√(ｇｋ)は「１／（時間）」の次元を持つ量です。）
ｇの前の符号が正ですから下向きが正です。
ｋ＞０なら
ｖ(ｔ)＝√(ｇ／ｋ)・ｔａｎ(√(ｇｋ)・ｔ＋ｃ）
ｋ＝Ｋ／ｍでＫに戻すと
ｖ(ｔ)＝√(ｍｇ／Ｋ)・ｔａｎ(√(ｇＫ／ｍ)・ｔ＋ｃ)
になりますからあなたの求めた式とは一致しません。
ｔａｎ(　)の(　)の中は角度です。ｍｇｔは力×時間ですから角度にはなりませんね。（角度の次元は「１」です。）

＞v(0)をいくら大きくしても、v(T)=0を満たすTがπ/2√Kgを超えない事を示す

下向きを正の取っていますからｖ(０)≧０であれば落下運動です。
加速度が重力だけの場合よりも大きくなっています。ｔ＞０でｖ(ｔ)＝０となることはありません。
ｖ(０)＜０であれば上向きに投げたということです。
「ｖ(０)をいくら大きくしても」というのは「上向きに（負の方向に）いくら大きくしても」という意味です。
ｔ＝０を入れてみます。
ｖ(０）＝√(ｇ／ｋ)・ｔａｎ(ｃ)＜０
です。ｃ＜０ということです。－π／２＜ｃ＜０の範囲で－∞＜ｔａｎ(ｃ)＜０です。
ｖ(０)を負の範囲でいくら大きく変えてみてもｔａｎ(ｃ)の角度ｃは－π／２＜ｃ＜０の範囲内にあります。
ｖ(ｔ)＝０になる時間はｔａｎ(√(ｇｋ)・ｔ＋ｃ)＝０になりｔです。
√(ｇｋ)・ｔ＋ｃ＝０
ｔ＝－ｃ／√（ｇｋ）＜(π／２)/√(ｇｋ）

ｋ＝Ｋ／ｍとして解きました。
＞v(T)=0を満たすTがπ/2√Kgを超えない
であれば誤りです。

Ｋ＜０であればこのような回答にはなりません。
文字の使い方も条件もあいまいすぎます。

補足

いろいろと間違いがあり、すみませんでした。
もとの問題文を載せます。
『速度の二乗に比例した空気の抵抗Kv^2が働くとき、初速v0で鉛直上方に投射した物体が最高点に達するまでの時間Tを求め、このTが初速v0をいくら大きくしてもπ/2√(kg)を超えないことを示せ』
です。
混乱させて本当にすみませんでした。

回答No.1

noname#185706

方程式はそれで正しいのでしょうか？
この問題の場合には
m dv/dt = - mg - kv^2
の形の方が自然ではありませんか？
上式を解くと、質問文の解と同様に tan が現れますが、その引数で t の項の前に - が付きます。その形の解で考えるとわかりやすいでしょう。
(tanθ は θ → π/2 のとき・・・、またθ = 0 のとき・・・。)