md^2x/dt^2 = -k

質問

md^2x/dt^2 = -kx + mg(m、g、kは実数の定数、mgk≠0)
与式の両辺に dx/dt を掛けてから、t で積分すると別の質問で聞いたのですが、左辺はどのような形になるのでしょうか？教えてください

回答No.8

hitokotonusi · ベストアンサー

>そもそもなぜC = (a/2)e^{iδ}とするのでしょうか？

複素数を極形式であらわしているだけです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0#.E6.A5.B5.E5.BD.A2.E5.BC.8F

aではなくa/2とするのは，その方があとあと式がきれいになるからという理由だけです。a e^{iδ}とおいて後で定数を定義し直しても同じことです。どのみちaは任意定数なので，これで一般性は失われていません。

＞(a/2)e^{iδ}の複素共役がC = (a/2)e^{-iδ}となるのは何故ですか？

オイラーの公式 e^{is} = cos(s) + i sin(s)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

を使ってCを書き直すと

C = (a/2)cosδ + i (a/2)sinδ

複素数a+ibにたいして複素共役はa-ibなのでCの複素共役C*は

C* = (a/2)cosδ - i (a/2)sinδ = (a/2)cos(-δ) + i (a/2)sin(-δ) = (a/2)e^{-iδ}

せっかくなので補足しておきますと，単振動ならエネルギー積分でも解けますが，この後に控えている粘性抵抗が入った減衰振動になるとエネルギー積分ではとけず(多分)，どのみちANo.6と同様の解法を使うことになります。

お礼

分かりました
詳しくありがとうございました

回答No.7

Tacosan

そ～いう形を「別の質問」に対して答えました＞#6. この質問者がそのことに気付いているかどうかは知りません.

なんで退会する必要があるんだろう. 謎だ.

回答No.6

hitokotonusi

＞xについて解く場合、同次形の一階微分方程式になるらしいのですがこれは何故かわかりますか？

正直な話、これは一階の微分方程式にするより二階のまま解いた方が簡単です。

-kx + mg = -k (x-mg/k)

となるので、mg/kが定数なので左辺も

md^2x/dt^2 = md^2(x-mg/k)/dt^2

としてしまって y= x-mg/kと変数変換すれば

md^2y/dt^2 = -ky

普通はこの両辺をmで割ってω^2 = k/mと定義して

d^2y/dt^2 + ω^2y = 0

という定係数の二階の線形常微分方程式になります。
この方程式は単振動の方程式と呼ばれています。

定係数の線形常微分方程式を解く常套手段は、
aを複素定数として y = e^(at)として代入する方法です。

この場合に代入して見ると

d(e^(at))/dt = a e^(at), d^2(e^(at))/dt^2 = a d(e^(at))/dt = a^2 e^(at)

なので

a^2 e^(at) + ω^2 e^(at) = (a^2 + ω^2) e^(at) = 0

任意の時刻で成り立つためには

a^2 = - ω^2
a = ±√(-1) ω = ±i ω

となりこれで二つの特解 e^{+iωt}、e^{-iωt}が求められるので、一般解はその線形結合で

y(t) = C e^{+iωt} + D e^{-iωt}

数学ならこれで終わりでいいのでしょうが、もともとが吊るしたバネの運動方程式ですので、
物理の解としてはy(t)は実数解でなければならないという条件がつきますので、
そのためには第1項と第2項が互いに複素共役である必要があり、D = C^*となるので

y(t) = C e^{+iωt} + C^* e^{-iωt}

ここで C = (a/2)e^{iδ}とおくと、

y(t) = (a/2)e^{iδ} e^{+iωt} + (a/2)e^{-iδ} e^{-iωt} = (a/2) [ e^{+i(ωt+δ) } + e^{-i(ωt+δ)}
　　 = a cos(ωt+δ)

または、 C = [A-iB]/2とおくと

y(t) = [A-iB]/2 e^{+iωt} + [A+iB]/2 e^{-iωt}
= (A/2) ( e^{+iωt} + e^{-iωt} ) + (-iB/2) ( e^{+iωt} - e^{-iωt} )
= A cos ωt + B sin ωt

これが物理の解としての一般解です。

補足

(a/2)e^{iδ}の複素共役がC = (a/2)e^{-iδ}となるのは何故ですか？
そもそもなぜC = (a/2)e^{iδ}とするのでしょうか？

回答No.5

alice_44

No.4 さんが書いておられるように、積分すると、
左辺 = m(1/2)(dx/dt)^2 + (定数) となります。
右辺 = -k(1/2)x^2 + mgx + (定数) ですから、
dx/dt = ±√{(-k/m)x^2 + 2gx + C} と書けます。
右辺の ± は、定数 C と同様、初期条件で決まります。

積分後の微分方程式は、非線型ですが、
一階正規形なので、変数分離形になっています。
t = ±∫ 1/√{(-k/m)x^2 + 2gx + C} dx と解けます。
この右辺の積分は、適当に変数変換すれば、
sin^-1 の定義に帰着されます。
{ } 内を平方完成してみてください。
y = A(x + (mg/k)),
t = ∫ B/√(1 - y^2) dy
となる定数 A,B があることが確認できるはずです。

前回 A No.4 は x'' = p(t)x'+q(t)x+r(t) 方面へ、
前回 A No.3 は x'' = f(x) 方面への一般化を
想定していたりします。
x'' = f(x) を、今回同様に処理すると、
t = ∫ 1/√{2∫f(x)dx} dx と書けます。

お礼

ようやく分かりました
詳しくありがとうございました

回答No.4

hitokotonusi

エネルギー積分ですか。

左辺にdx/dtをかけると

m(d^2x/dt^2)(dx/dt)

dx/dtは速度vなのでv^2を微分してみると

d/dt(v^2) = 2vdv/dt = 2(dx/dt)(d^2x/dt^2)

となるので，左辺は

m(d^2x/dt^2)(dx/dt) = (1/2)md(v^2)/dt = d/dt[(1/2)mv^2]

これを時刻0からtまで積分すれば

(1/2)mv(t)^2 - (1/2)mv(0)^2

ということで運動エネルギーの差になります。

補足

そのような考え方もあるとは知りませんでした
エネルギー積分について調べます

xについて解く場合、同次形の一階微分方程式になるらしいのですがこれは何故かわかりますか？

回答No.3

Tacosan

ちなみにその「別の質問」とはどれですか?

補足

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8122034.htmlです

回答No.2

Tacosan

x を t の関数としたとき, x^2 を t で微分するとどうなりますか?

補足

2x dx/dtになります

回答No.1

shintaro-2

ｘはｔの関数で実際はａを∫したものですから

別の書き方をすれば
ma=-k∫∫adtdt+C　ということです　Cは積分定数

ｘの2階微分が同じものということで、三角関数ということになります。

http://www.daido-it.ac.jp/~harashin/pdf/note/092riki1_note10.pdf

補足

ma=-k∫∫adtdt+Cとなるのは分かりました
これからxは求められるのでしょうか？