積分

質問

次のような運動方程式を(0→Δt)で積分するとします。

m(dv/dt) = mg - cv^2　　(ただし、cは定数、mは質量、gは重力加速度)

0→Δtで積分すると
m(v(Δt)-v(0)) = mgΔt - c∫(0→Δt) v(t)^2dt
v(Δt) = v(0) + gΔt - c/m∫(0→Δt) v(t)^2dt

ここで、右辺の∫(0→Δt) v(t)^2dtの積分なのですが
これを図で考える場合、横軸は t であることがわかるのですが
縦軸はなにに設定すればほいでしょうか？？
また、v(t)^2というのは時刻tによるvの自乗ということでしょうか？？

初歩的な質問ですがよろしくお願いします。

回答No.2

dephands

積分する、というのは、積分の計算を力技でやってのける、ということです。積分をまだ勉強されていないのであれば、無理して積分を求める必要はないです。一通り積分の勉強をされてから戻ってくることをオススメします。

たとえば、今の場合は、はじめの運動方程式から、
∫dt=∫{m/(mg-cv^2)}dv　　　-(1)
とかけるので、これをがんばって計算、変形していくと、結果は
v(Δt)=-A{A-v(0)-(A+v(0))exp(2BΔt)}/{A-v(0)+(A+v(0))exp(2BΔt)}
(A=√(mg/c),B=√(cg/m)とおきました)
となります。(Δtが0のとき右辺がv(0)になり、Δtが大きくなると、Aに近づいていきます)

次に、積分を図形から求めるという話をします。
あなたの求めたい積分は、私の出したv(t)の答えと
>m(v(Δt)-v(0)) = mgΔt - c∫(0→Δt) v(t)^2dt
を比べれば分かりますが、とても単純な面積で求められる形になっていませんよね。面積が分かるのはせいぜい四角形、円、くらいのものだとして話をすると、上の式はどうあがいてもそれらの単純な図形の面積の和であらわせません。つまり、図形の面積から積分を求められない、ということです。

逆に、面積の計算から積分が決まるのはどういうときか考えます。

(1)をみると、左辺は、積分される関数が定数1なので、横軸にt、縦軸にy=1という関数をとれば、tが0からΔtまで、yが0から1まで囲まれた長方形として、積分が面積で求められます。

(1)の右辺は、積分される関数がm/(mg-cv^2)です。vで積分しているので、横軸にv、縦軸にy=m/(mg-cv^2)をとれば、y=m/(mg-cv^2)のグラフと横軸(v(0)からv(t)まで)で囲まれる面積を計算すればいいことになりますが、、、、。グラフを書いてみてください。それ、面積が計算できません。(積分の計算をすれば話は別です。)
全く同じ理由で、質問者さまの求めたい積分は、面積の計算から積分しないで求めることはできません。

(Δtが非常に小さい、という場合には話が別かもしれませんが、、、、あまり意味がない議論になるかな)

質問者様が高校生だというのなら、no.1でかいたように、
>v(t)の変化をグラフで考えたい、というなら、運動方程式の右辺がゼロになるところでv(t)が変化しなくなるので、v(t)はv(0)から√(mg/c)(運動方程式の右辺がゼロになるvの値)に近づいていく形になるような形になると思いますよ。

このくらいの理解で十分だと思います。

回答No.1

dephands

>これを図で考える場合、横軸は t であることがわかるのですが
>縦軸はなにに設定すればほいでしょうか？？

積分を図形の面積で求めるということですか？
v(t)が、tの単純な形の式でかけていないので、結局積分することになると思いますよ。

v(t)の変化をグラフで考えたい、というなら、運動方程式の右辺がゼロになるところでv(t)が変化しなくなるので、v(t)はv(0)から√(mg/c)(運動方程式の右辺がゼロになるvの値)に近づいていく形になるような形になると思いますよ。

>また、v(t)^2というのは時刻tによるvの自乗ということでしょうか？？

そのとおりです。

お礼

返信ありがとうございます。

＞積分を図形の面積で求めるということですか？
はい、そうです。

＞v(t)が、tの単純な形の式でかけていないので、結局積分することになると思いますよ。
すみません、また積分するとはどうゆうことでしょうか？？
もしv(t)がtで表される式であるとしたら、よいのでしょうか？？

よろしくお願いします。