重複組合せH[n,r]の性質について

質問

n 種のものから、重複 (repetition) を許して r 個のものを取り出す組合せというものを考えて、n から r とる重複組合せと呼び、その総数を H[n,r] と表す。
H[n,r]=C[n+r-1,r]
ここまでは分かりますが、次の性質が分かりません。
どなたか説明をいただけないでしょうか?

(1 + x + x^2 + x^3 + … )^nのx^rの係数は
C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
　= C[n+r+1,r]
　= H[n,r]　
となる。すなわち、
(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
　= H[n,0] + H[n,1]x + H[n,2]x^2 + H[n,3]x^3 + …

また、
H[n,r]=(-1)^r C[-n,r]
は多重集合係数あるいは負の二項係数とも呼ばれ、
(1-x)^(-n) = Σ[r=0,∞]H[n,r]x^r

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

>次の性質が分かりません。
どの「等式」がわからないか補足せよ。

お礼

あるところからもってきた話題なのですが、
質問に不備がありましたようで、貴重なお時間をとらせてしまったことをお詫びいたします。

お詫びに考えた結果を書きます。

(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
= (1+x+x^2+…)(1+x+x^2+…)…(1+x+x^2+…)　（n個の積）

x^rは、n個の因数から重複を許してr個を選び、
もしも3個を重複していれば、その因数のなかのx^3をとることで、
それらのxをかけて得られるから、x^rの係数は、H[n,r]

改めて、１つ目の因数からx^a[1]、２つ目の因数からx^a[2]、、、
を持ってきて掛け合わせてx^rになったと考えると、
x^r=x^a[1]*x^a[2]*…*x^a[n]
(a[k]は0以上r以下の整数)
⇔r = a[1] + a[2] + … + a[n]

これを満たす０以上の整数の組(a[1],a[2],…,a[n])の個数を求める。
○○○○○○…○○
という具合に○をr個並べて、両端もしくは隙間に | をn-1個入れ、
｜にはさまれた○の個数を左から、a[1]個、a[2]個、、、とする。
これはC[n+r-1,r]通り、すなわちH[n,r]通りです

補足

(1 + x + x^2 + x^3 + … )^nのx^rの係数は
C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]

がわかりません。すみません。

回答No.2

banakona

未完成回答です。

＞C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
＞　= C[n+r+1,r]
ここのつながりはいいんだけど

＞　= C[n+r+1,r]
＞　= H[n,r]　
ここが変です。

＞H[n,r]=C[n+r-1,r]
と矛盾してますし。

その一方で、
＞(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
＞　= H[n,0] + H[n,1]x + H[n,2]x^2 + H[n,3]x^3 + …
は合っていそうです。
でも結局、
＞C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
に相当する正しい式が出てくるので、その説明をしなければいけないのですが、できませんでした　m(__)m　

＞(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
＞　= H[n,0] + H[n,1]x + H[n,2]x^2 + H[n,3]x^3 + …
を直接、証明できるので、どうもモチベーションが上がりません。これを直接証明して、そこから逆回しで
＞C[n,0] + C[n+1,1]+ C[n+2,2] + … + C[n+r,r]
に相当する正しい式を導くっていうのはダメですか？

補足

あるところからもってきた話題なのですが、
質問に不備がありましたようで、貴重なお時間をとらせてしまったことをお詫びいたします。

お詫びに考えた結果を書きます。

(1 + x + x^2 + x^3 + … )^n
= (1+x+x^2+…)(1+x+x^2+…)…(1+x+x^2+…)　（n個の積）

x^rは、n個の因数から重複を許してr個を選び、
もしも3個を重複していれば、その因数のなかのx^3をとることで、
それらのxをかけて得られるから、x^rの係数は、H[n,r]

改めて、１つ目の因数からx^a[1]、２つ目の因数からx^a[2]、、、
を持ってきて掛け合わせてx^rになったと考えると、
x^r=x^a[1]*x^a[2]*…*x^a[n]
(a[k]は0以上r以下の整数)
⇔r = a[1] + a[2] + … + a[n]

これを満たす０以上の整数の組(a[1],a[2],…,a[n])の個数を求める。
○○○○○○…○○
という具合に○をr個並べて、両端もしくは隙間に | をn-1個入れ、
｜にはさまれた○の個数を左から、a[1]個、a[2]個、、、とする。
これはC[n+r-1,r]通り、すなわちH[n,r]通りです