p元体上の一般線形群について

質問

p : 奇素数,
F := Z/pZ : p元体,
G := GL(2, F) : F上の2次一般線形群,
H := SL(2, F) : F上の2次特殊線形群,
Z := Z(G) : Gの中心,
G_1 := HZ,
A ∈ G に対して、 C_G(A) := { X ∈ G | AX = XA } : GにおけるAの中心化群,
E : 2次の単位行列,
U = {{1, 1}, {0, 1}} ∈ H

とするとき、

(1) G_1がGの指数2の部分群であることを示せ。
(2) C_G(U) ⊂ G_1 であることを示せ。
(3) U^H, U^(G_1), U^GでそれぞれUを含むH, G_1, Gの共役類を表すことにすると、
|U^H| = |U^(G_1)| = |U^G|/2 という等式が成立することを示せ。

という問題の解法が分かりません。

C_G(U) = { {{a, b}, {0, a}} | a, b∈F, a≠0 },
Z = { aE | a∈F, a≠0 },
|G| = (p^2-1)(p^2-p),
|H| = (p^2-1)p,
|Z| = p-1

までは調べたり計算するなどして出してみたのですが、
これも合っているのかどうか自信がありません。
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

ftg_

しばらく考えていたら、(3)も出来ました。
第二同型定理や、共役類と中心化群の関係を忘れるなど、
群論の基本事項の復習が不十分だったようです。
大変お騒がせしました。

|U^H|
= | H : C_H(U) |
= | H : C_G(U) ∩ H |
ここで、
C_G(U) = { {{a, b}, {0, a}} | a, b ∈ F, a^2 = 1 }
であるから、| C_G(U) | = 2p
よって、
|U^H| = (p^2 - 1)/2

同様にして、
|U^(G_1)|
= | G_1 : C_G(U) ∩ G_1 |
= | G_1 : C_G(U) |
= (p^2 - 1)/2
|U^G|
= p^2 -1
が言える。

したがって、
|U^H| = |U^(G_1)| = |U^G|/2

回答No.2

ftg_

(2)も示せたので、回答します。

任意のA = {{a, b}, {0, a}} ∈ C_G(U) (a, b ∈ F, a≠0) に対して、
h := a^(-1) A,
z := aE
とおけば、h∈H, z ∈Zで A = hz ∈ HZ = G_1
したがってAの任意性から、C_G(U) ⊂ G_1

回答No.1

ftg_

何日か自分で考えたところ、(1)だけ解き方を思いついたのですが、
質問の編集や追記などができないようなので、
自分で回答します。
(2)、(3)についてはまだ解き方が分からないので、
分かる方がいらっしゃいましたら、教えてください。

(1)
HはGの部分群、ZはGの正規部分群なので、
第二同型定理により、
H/H∩Z = HZ/Z
したがって、ラグランジュの定理により、
|H|/|H∩Z| = |HZ|/|Z|
が成り立つから、
|G:G_1|
= |G|/|G_1|
= |G|/|HZ|
= (|G|*|H∩Z|)/(|H|*|Z|)
= {(p^2-1)(p^2-p)*|H∩Z|}/{(p^2-1)p*(p-1)}
= |H∩Z|
となる。
ここで、aE ∈ Z (a∈F, a≠0)に対し、
aE ∈ H
⇔ |aE| = 1 (mod p)
⇔ a^2 = 1 (mod p)
⇔ a^2 - 1 = 0 (mod p)
⇔ (a - 1)(a + 1) = 0 (mod p)
より、a = ±1 (mod p)
p:奇素数より、p>=3だから、+1 ≠ -1 (mod p)である。
よって、|H∩Z| = 2
したがって、|G:G_1| = 2