【ユニタリ群の弧状連結】

質問

【ユニタリ群の弧状連結】
n≧1のユニタリ群U(n)が弧状連結であることを示せ。

・・・という問題がわからなくて困っています。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

ユニタリ群の行列表現で考えましょう。
任意のユニタリ行列Ｕが単位行列Ｅと線で結べればいいですね。
ユニタリ行列は正規行列ですからユニタリ行列で対角化できます。
任意のユニタリ行列Uがあるユニタリ行列(U0)で対角化できたとします。
(U0)^[-1]U(U0)=D
ただし、Dは対角行列です。ユニタリ行列の固有値λは|λ|=1ですから、Dの対角成分を、e^[iθ1]、e^[iθ2]、e^[iθ3]、・・・、e^[iθn]とします。
対角行列D(t)を対角成分がe^[itθ1]、e^[itθ2]、e^[itθ3]、・・・、e^[itθn]である行列とします。関数f(t)を
f(t)=(U0)(D(t))(U0)^[-1]
と定義すると、f(t)はユニタリ行列で、f(1)=U、F(0)=Eとなります。
これで出来ましたね。

お礼

大変わかりやすく説明していただけて理解することができました！

とても助かりました！本当にありがとうございました！！