この問題を教えてください。

質問

この問題を教えてください。
問題は
方程式X^a＝a^xの正の解は、方程式logX/X＝log/aの正の解と一致することを利用して、X^a＝a^xの正の解の個数を調べ、ａの値によって分類して答えよ。ただし、ａは正の定数である。
です。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

y = (log x)/x のグラフを描いて、
y = b との交点の数で x を分類すればいいでしょう。

dy/dx = (1 - log x)/x^2 = 0　⇔　x = e
と
lim[x→+0] y = -∞,
lim[x→+∞] y = +0,
y(1) = 0
より、

a ≦ 1 のとき 1 個、
1 < a < e のとき 2 個、
a = e のとき 1 個、
e < a のとき 2 個
であることが判ります。

実際にグラフを描いて、眺めてみることです。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞方程式logX/X＝log/aの正の解と一致することを利用して
もし、「log(x)/x＝ pという方程式について、pの場合分けで解の個数を調べる」とすれば、どうしますか？
いまの問題はその少し発展したものです。

まず、log(x)/xのグラフを描かないといけません。

log(a)/aは x＝ aのときの f(x)＝ log(x)/xの値（つまりは、f(a)）ですね。
ということは、x＝ aが解となっていることは当然ですね。
しかし、上の少し置き換えた問題で p＝ f(a)とみれば、xは一つだけとは限りません。

このようなことをグラフを用いて考えることになります。