対数関数で困っています

質問

なかなか最後の問題でてこずっています。
aは定数とする。方程式log_3(x-1)^2+log_3(x+2)=aについて
（１）xの取りうる範囲を求めよ。
（２）a=log_9(16)のとき、方程式の解を求めよ。
（３）この方程式が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つようにaの　　　値の範囲を求めよ

なんですけど、（１）は真数条件で。（２）は3^2　と4^2　として計算するとまぁできました。しかし（３）がいろいろ考えすぎてこんがらがっています。
もしよろしければ、お返事を宜しくお願いします。

回答No.2

masudaya · ベストアンサー

解答を途中まで作ってみると,
a=log_3 b
と置くと,もとの式は
log_3 (x-1)^2*(x+2)/b =0
∴(x-1)＾2*(x+2)=b
この方程式が(3)の条件のようになるためには・・・
以降はご自身でお考え下さい.

お礼

そうですね。条件を考えてみるといいんですね。
まったく予想外でした。
ありがとうございます。

回答No.3

subaru21

まず、問題（１）で、xの定義域は、－２＜ｘ、ただし、ｘ≠１であることは、明らかです。
このとき、対数の性質から、与えられた方程式は、
log_3(x-1)^2(x+2)=a と整理できます。したがって、
(x-1)^2(x+2)=3^a となり、左辺を y=(x-1)^2(x+2) として、グラフを書くと（グラフを書く技術がないので、申し訳ありませんが省略します。）x軸とx=-2で交わり、x=1で接する３次関数のグラフができます。
y=3^a のグラフは、x軸に平行なグラフですので、
0 < 3^a < 2 の範囲であれば、３次関数とx軸の負の部分で１つの交点かつ、正の部分で異なる２つの交点をもつことがわかり、題意に適していることがわかります。よって、求める範囲は、a < log_3 ２　となります。

お礼

解いていただき、ありがとうございます。
やはりこういう問題はパターンがあるのですが、きっちり一つずつとかないといけませんね。これからもしっかり勉強いたします。

回答No.1

pocopeco

まず、a=log_3 b 　とおいて
異なる2つの正の解と1つの負の解を持つようにbの値の範囲を求めしょう。
この式は、対数ではなくなり３次方程式の問題です。グラフを書いてみればわかります。

もちろんxは、(1)で得られた範囲内です。

求められたbからaを計算します。

補足

遅くなりましたが、アドバイスありがとうございます。
bという発想ができなかったので参考になりました。