数学の問題です。

質問

aを実数の定数とするxの方程式x^3＋(a-1)x^2-a=0・・(※)
について次の問いに答えよ。
(1) a=1のとき(※)の解を全て求めよ。
(2)　(※)の異なる実数解の個数が1となるようなaの値の範囲をもとめよ。
※という問題です。
宜しくお願いします。

回答No.4

deshabari-haijo · ベストアンサー

ANo.2の別解です。

(2)
x^3+(a-1)x^2-a=(x-1)(x^2+ax+a)と因数分解でき、与えられた条件を満たすためには、x^2+ax+a=0が実数解をもたなければいいので、
x^2+ax+a=0の判別式D：a^2-4a=a(a-4)＜0
これから、求めるaの範囲は、0＜a＜4

※
難しく考え過ぎました。（反省）

お礼

有難うございます。

回答No.3

deshabari-haijo

ANo.2の補足です。

3次関数f(x)において、極大値＜0であれば、極小値＞0とはなり得ないので（必然的に極小値＜0となるので）、どうやら無駄な考察をしたようです。

回答No.2

deshabari-haijo

(1)
a=1のとき、
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0
よって、
x-1=0の解：x=1、x^2+x+1=0の解：(-1±i√3)/2

(2)
f(x)=x^3+(a-1)x^2-aとおくと、
f'(x)=3x^2+2(a-1)x=3x[x-{-2(a-1)/3}]

・-2(a-1)/3＞0→a＜1のとき
x=0で極大値：f(0)=-a
x=-2(a-1)/3で極小値：f(-2(a-1)/3)=(4a^3-12a^2-15a-4)/27
与えられた条件を満たすためには、f(0)＜0またはf(-2(a-1)/3)＞0
f(0)=-a＜0となるのは、a＞0
よって、0＜a＜1－(ア)
ここで、g(a)=(4a^3-12a^2-15a-4)/27とおくと、
g'(a)=12(a+1/2)(a-5/2)/27
よって、g(a)は、
a=-1/2で極大値：g(-1/2)=0
a=5/2で極小値：g(5/2)=-2
これから、a＜1の範囲においてはg(a)≦0となり、条件を満たすaは存在しないので、(ア)の範囲のみとなります。

・-2(a-1)/3＜0→a＞1のとき
x=-2(a-1)/3で極大値：f(-2(a-1)/3)=(4a^3-12a^2-15a-4)/27
x=0で極小値：f(0)=-a
与えられた条件を満たすためには、f(-2(a-1)/3)＜0またはf(0)＞0
上で考察したg(a)の値が、a=-1/2以外で0となるのは、参考URLにもある通りの3次関数の対称性から、
a=5/2+{5/2~(-1/2)/2=5/2+3/2=8/2=4
よって、条件をを満たすaの範囲は、1＜a＜4－(イ)
また、f(0)=-a＞0とするとa＜0となり、a＞1との共通範囲はないので、(イ)の範囲のみとなります。

・a=1のとき
既に(1)で触れたように、条件を満たします。

以上から、求めるaの範囲は、0＜a＜4

※
(2)がかなり複雑なので、計算ミスがあるかもしれません。
なお、a=0のとき、x=0が重解となり、a=4のとき、x=-2が重解となります。
何れも極大となる場合です。

参考URL：

https://mathtrain.jp/sanji

回答No.1

gamma1854

(与式) ⇔ (x-1)(x^2+ax+a)=0.
「３次方程式の異なる実数解の個数が1」・・・とは?
問題の表現はこの通りですか？

お礼

何とか解けました。
有難うございます。

補足

そうです。