Π[k=1,n](3k-2)！/(n+k-1)！

質問

あみだくじの数学という本で、対称群を拡張した一般単調三角形の集合(generalized monotone triangle)L(S_n)というのを聞きました。

その要素の個数は、

1！4！7！10！…(3n-2)！/n！(n+1)！(n+2)！…(2n-1)！

らしいです。その式を見て、なぜそれが整数になるのかが疑問に思いました。

回答No.1

stomachman

同様に nCk = n!/((n-k)! k!) がなぜ整数になるのかも、疑問じゃないですかね。で、これはどうやって証明されるのだっけ？
というのがヒントになりませんかね？

補足

n!/(n-k)! k! が整数であることの証明は、
［1］組合せの意味
［2］分母と分子が素数pで何回割れるかを考え、ガウス記号に関する不等式を使う
［3］漸化式を用いて数学的帰納法
が思い浮かびます。

Π[k=1,n](3k-2)！/(n+k-1)！ が整数であることの証明の方針、
［1］組合せの意味

対称群
(1234)
(3412)
において、下の行に着目し、左から1個(3)、左から2個(34)、左から3個(341)、左から4個(3412)を取り出し、小さい順に並び替えて、
3
34
134
1234
という三角形を考えます。この特徴に、下から上に広義単調増加、左から右に狭義単調増加、左上から右下に広義単調増加という性質があります。
その性質を満たすものを一般単調三角形と呼び、
3
24
234
1234
などがあります。

ただ、左上から右下に広義単調増加という性質において、その斜め方向というのが、直角三角形の斜辺に相当する部分だけを考えるのか、すべての右下方向を考えるのか、記憶はあいまいです。すみません。）

n次の一般単調三角形の総数が
Π[k=1,n](3k-2)！/(n+k-1)！
らしいのですが、その導き方もわかりません。

［2］分母と分子が素数pで何回割れるかを考え、ガウス記号に関する不等式を使う

ガウス記号に関する不等式が使えそうにもありません

［3］漸化式を用いて数学的帰納法

漸化式があるのかも知りません