f(k+1) - f(k)法

質問

次の和を計算せよ

n
Σ 1/k(k+1)
k=1

解答

1/k(k+1) = - 1/k+1 + 1/k より,

f(k) = - 1/k, ak = f(k+1) - f(k) とおくと,

n...........................n
Σ 1/k(k+1) = Σ ak = f(n+1) - f(1) = - 1/n+1 + 1
k=1.....................k=1

= n/n+1

という問題ですが、

1/k(k+1) = - 1/k+1 + 1/k より,　

という部分がわかりません。どうしてこうなるんでしょうか。教えてください。

回答No.4

rinri503 · ベストアンサー

質問者の回答例は、むつかしく考えています次のように解くと分かりやすいです
部分分数の型は、１／小ｘ大＝１／ｔ（１／小－１／大）
に変形します。１／小－１／大の部分を通分して、１以外の数が出た場合は、その数ｔで割ると、一致します

問題の場合は、通分しても１ですから、１／ｔのところは、いりません
ｎ　　　　　　ｎ
Σ 1/k(k+1)＝Σ　（１／ｋ－１／（ｋ＋１））

Ｋ＝１，２，３・・・・ｎと順じ代入して書き出します

　　＝（１／１－１／２）＋（１／２－１／３）＋・・・
　　　　　＋（１／ｎ－１／（ｎ＋１））

　　　隣どおし消えてくれますから、先頭の１と最後の
　　　　　１／（ｎ＋１）だけが、残りますから

　　　　　＝１－１／（ｎ＋１）＝ｎ（ｎ＋１）になる

お礼

皆さん丁寧な解答ありがとうございました。

また新しい質問をしたときは、よろしくお願いします。

回答No.3

sunasearch

部分分数分解もしくは、部分分数展開と呼ばれます。

単純には、通分の逆をしているだけです。

下記のページなどを参考にしてみて下さい。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/safrc101.htm

回答No.2

Tacosan

1/k(k+1) を部分分数に分解すると 1/k - 1/(k+1) ですね.
あ, 「部分分数に分解する」というのは, P(x) / Q1(x) Q2(x) ... という分数式 (Q1(x), Q2(x), ... は互いに素) を P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + ... のように分解することです.

回答No.1

tatsumi01

一般的な名称があった筈ですが思い出せません。
この問題に限れば
1/k(k+1) = A/k+1 + B/k
と仮定し、右辺を通分して分子を眺めると A, B に関する連立方程式が出る筈です。
それを解いて出ます。