Σ (-1)^k・nCk・k^v が完答できず？

質問

先日、親切にも次のヒントをいただいたのですが、vの関数であり、x, kで混乱し途中で行き詰ってしまいました。どなたか、最終解答をお願いできないでしょうか。

「二項定理から、(x-1)^n＝(-1)^n＊Σ[(-1)^k (nCk) x^k] となる。これはxについての恒等式。両辺をｘで１回，…．n回微分。x＝1を代入してできたn個の式どうしを足したり引いたりすればよい。」

＜問題＞
ｎ：自然数　ｖ：０以上ｎ以下の整数
　　f(v)＝Σ (-1)^k・nCk・k^v （k=0からnまで）
とすると，
　　f(v)＝0 （ 0≦v≦n-1 のとき）
　 f(v)＝(-1)^n・n！（ v＝n のとき）
となることを示せ。

回答No.1

sugakujyuku · ベストアンサー

f(0)=Σ_{k=0~n}nCk(-1)^k・1^(n-k)=(1-1)^n=0.
k・nCk=n・(n-1)C(k-1),
k^2・nCk=n{(k-1)+1}・(n-1)C((k-1)=n(n-1)・(n-2)C(k-2)+n・(n-1)C(k-1),
k^3・nCk=n(n-1)[{(k-2)+2}・(n-2)C(k-2)]+n{(k-1)+1}・(n-1)C(k-1)
=n(n-1)(n-2)・(n-3)C(k-3)+6n(n-1)・(n-2)C(k-2)+n・(n-1)C(k-1)
これを繰り返すと
1≦v≦n-1のとき
k^v・nCk=n(n-1)(n-2)・・・(n-v+1)・(n-v)C(k-v)
+m_{n-v+1}n(n-1)(n-2)・・・(n-v+2)・(n-v+1)C(k-v+1)+・・・+m_n・(n-1)C(k-1)
となる。ただし、nCkにおいてk<0のときはnCk=0とする。
また、m_{n-v+1},・・・m_nは自然数である。
すると
f(v)=(-1)^{v}・n(n-1)(n-2)・・・(n-v+1)Σ_{k=0~n}(n-v)C(k-v)・(-1)^{k-v}・1^{n-k}
+m_{n-v+1}(-1)^{v-1}・n(n-1)(n-2)・・・(n-v+2)Σ_{k=0~n}(n-v+1)C(k-v+1)・(-1)^{k-v+1}・1^{n-k}
+・・・-m_nΣ_{k=0~n}(n-1)C(k-1)・(-1)^{k-1}・1^{n-k}
=(-1)^{v}・n(n-1)(n-2)・・・(n-v+1)Σ_{j=0~n-v}(n-v)Cj・(-1)^j・1^{n-v-j}
+m_{n-v+1}(-1)^{v-1}・n(n-1)(n-2)・・・(n-v+2)Σ_{j=0~n-v+1}(n-v+1)Cj・(-1)^j・1^{n-v+1-j}
+・・・-m_nΣ_{j=0~n-1}(n-1)Cj・(-1)^j・1^{n-1-j}
=(-1)^{v}・n(n-1)(n-2)・・・(n-v+1)(1-1)^{n-v}
+m_{n-v+1}(-1)^{v-1}・n(n-1)(n-2)・・・(n-v+2)(1-1)^{n-v+1}+・・・-m_n(1-1)^{n-1}
=0.

k^{n-1}・nCk=n(n-1)・・・2・1C(k-n+1)+m_{n-2}n(n-1)・・・3・nC(k-2n+1)
+・・・m_n・(n-1)C(n-2).
n≧2のとき第２項以下は0となる。そこでn=1とn≧2と場合分けして考える。
n=1のとき
f(1)=1C0・(-1)^0・0^0+1C1・(-1)^1・1^1=(-1)^1・1!.
n≧2のとき
f(v)=n!Σ_{k=n-1~n}1C(k-n+1)・(-1)^k・k
=n!{(-1)^{n-1}・(n-1)+(-1)^n・n}
=(-1)^n・n!

お礼

すごいですね！もう完ぺきですね。
本当にありがとうございます。Ｃの公式の使い方をもっと勉強します。