レイリーの式の解読

質問

レイリーの式の解読

自分は今超音波と音場に関する研究をしています。先輩の過去の卒論を解読しなければいけません。
無限バッフル内の平面振動子の端面が速度vT(t)で一様に振動している時、
吸収のない均一媒質中の観測点Oでの時刻ｔにおける音圧ｐは、次のレイリーの
式で与えられる。
となっていて式は添付した画像のようになっています。
ρは媒質の密度、ｃは媒質の音速、STは振動子面、dSは振動子面上の面積素、
ｒは面積素から観測点までの距離、プライムは時間微分である。
この式の構造（成り立ち）を説明するように言われていて、参考書やネットも調べたのですがわかりませんでした。
お分かりになる方、ご教授お願い致します。

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回答No.2

spring135 · ベストアンサー

No.1です。
(1)rは振動紙面上の微小面積dSと観測点との距離です。振動子面上をxy面、面に垂直にｚ軸を撮ると振動子面の中心は(0,0,0)、振動子面上の点(x0,y0,0)の周りに微小面積dS=dx0・dy0を考え、これと観測点(x,y,z)との距離がrです。
r=((x-x0)^2+(y-y0)^0+z^2)^0.5
方形振動子の場合は(x,y,z)座標を使いますが円形振動子の場合は(r,θ,z)座標を用いて、計算を実行します。
(2)v'(t)は加速度です。振動子がｚ方向に角振動数ωで正弦波状に振動しているときは振動面は
v(t)=Vexp(jωt)
v'(t)=jωVexp(jωt)
観測点ではにおいては
v(t-r/c)=Vexp(jω(t-r/c))=Vexp(jωt)・exp(-jωr/c))=Vexp(jωt)・exp(-jωr/c))
=Vexp(jωt)・exp(-jkr)
v'(t-r/c)=jωVexp(jω(t-r/c))=jωVexp(jωt)・exp(-jkr)
つまり積分に関係する空間部分と関係しない時間部分に分けておきます。

お礼

返事が遅れてしまい申し訳ございません。
ご丁寧に式の解説までしていただき、大変助かりました。
教えて頂いたことを参考にしてこれからの研究に
活かしていきたいと思います。
ご多忙中ご対応していただき、ありがとうございました。

回答No.1

spring135

図中の積分の中の式vT(t-r/c)は３次元極座標系における方向依存性を無視した場合の波動関数の解、すなわち球面波として得られるもので、振動子の一点から出た波が空間的に広がっていく時の挙動を表しています。これはダランベールの解と呼ばれます。積分は振動紙面上で行っています。つまり振動紙面の各点から出た球面波が空間のある点Ｐに達するときこれらを足し合わせることによってＰにおけるおける音圧等が求められることを示しています。

補足

ご丁寧に対応していただきありがとうございます。全体の構造はつかめることができました。
大変申し訳ないのですが、聞きたいことがあります。
vT(t-r/c)の(t-r/c)は時間の差を表しているのですよね？しかし何の時間差なのかということがよくわかっておりません。観測地点からある点に達するまでの時間でしょうか？
また早さをtについて微分したものを直径で割っている理由もよくわかっておりません。それにvT'は加速度になってしまうのでしょうか？
度々の質問でご迷惑をおかけいたしますが、ご都合がよろしければご教授お願い致します。