斜方投射の初速度計算

質問

以下の式1と式2を解いて斜方投射の初速度Vを求めたいと思っています。

式1 x = V*t*cos(θ) - 1/2 * a * t^2
式2 y = V*t*sin(θ) - 1/2 * g * t^2

x：目標地点までの水平方向の距離
y：目標地点までの高さ
θ：投射角度
a：x水平方向の加速度
g：重力加速度
t：時間

として、tとV以外が既知(全て定数)のときにVを求めることは出来るのでしょうか。

投射角度と目標地点とx軸方向に働く加速度(定数)が分かれば初速度も一意に定まりそうな気がするのですが、代入法でtを消してもVについて解くことができません。

回答No.2

Tann3 · ベストアンサー

No.1です。「お礼」に書かれたことについて。

＞「水平面からの仰角30°で打ち出し、ある地点(x,y)を通過または着弾したとき」の初速度Vはいくらかという問題で、仰角と(x,y)に任意の値を与えたときの初速度Vを知りたいのです。

　ご質問では、

＞x：目標地点までの水平方向の距離
＞y：目標地点までの高さ

と書かれていたので、特定の座標（定数）ではなく、座標に関する変数かと思いました。

　x, y が特定の値であるとするならば、一般解に、その座標(x,y)の条件を入れて解けばよいだけの話ではありませんか？

　通過する位置を（変数ではなく定数であることを明示するため）、（x1, y1）と書けば、

　　x1 = V*t*cos(θ) - 1/2 * a * t^2
　　y1 = V*t*sin(θ) - 1/2 * g * t^2

　これを変形して

　　1/2 * a * t^2 - V*t*cos(θ) * x1 = 0　　　　（１）
　　1/2 * g * t^2 - V*t*sin(θ) + y1 = 0　　　　（２）

　各々は、変数tに関する単純な二次方程式ですから、公式通りに（１）（２）各々の ｔ の値が求まります（それぞれ t1, t2 とします）。そこには未知数 V も含まれます。

（注）いちいち書くのは面倒なので、この公式を使ってください。ここで使うのは t > 0 の解です。
　　　ax^2 + bx + c = 0　の解は、
　　　　x = [ -b ± √(b^2 - 4ac) ] / 2a

　軌道が（x1, y1）の地点を通過するということは、「同時に通過する」ということですから、この2つの「ｔ」は等しいということです。
　つまり、 t1 = t2 という条件から、未知数 V が求まります。

　以上の方法で、高校までの物理、数学で十分解けると思いますが？

お礼

回答ありがとうございます。
その方法で解くことが出来ました。
t1=t2としたすると式3のようになりました。

式3
g*V*cos(θ)-a*V*sin(θ)+g*sqrt(V^2*cos^2(θ)-2*a*x)-a*sqrt(V^2*sin^2(θ)-2*g*y)=0

ここから自力ではVを解く事ができなかったのでwolfram aplhaで計算したところ

V = ± (gx-ay) / sqrt( -2ax*sin^2(θ) + 2ay*sin(θ)cos(θ) + 2gx*sin(θ)cos(θ) - 2gy*cos^2(θ) )

となりました。
これで一応Vは求まったのですが、wolfram alphaでは途中式が表示されなかったため計算過程の見当が付きません。
参考までにVについて解く方法またはヒントを教えていただけないでしょうか。
二乗したり式変形したりして√の中からVを取り出したいのですがうまくいきません。

補足

お礼に書いた疑問については主題から外れているため、数学カテゴリで改めて質問します。
回答ありがとうござました。

回答No.1

Tann3

Ｖは、運動方程式

　　d^2x/dt^2　＝　-a
　　d^2y/dt^2　＝　-g

を解いたときの「速度初期値」ですから、一意には定まりません。
　質問に記載された式1、式2は、この運動方程式の「水平面からの仰角θで、絶対値V(m/s）で打ち出したとき」の一般解です。

　θもVも、任意の値を取り得る、ということです。
　たとえば、「水平面からの仰角30°で、絶対値19.6 m/sで打ち出したとき」、「水平方向に（つまり仰角0°）、絶対値9.8 m/sで打ち出したとき」などのどんな初期条件にも対応します。

　特定の運動状態を記述したいのであれば、θとVを特定の初期条件として与えらる必要があります。

お礼

回答ありがとうございます。
理解が足りず申し訳ないのですが、
>「水平面からの仰角θで、絶対値V(m/s）で打ち出したとき」の一般解
この一般解から初速度を逆算？したいのです。

>「水平面からの仰角30°で、絶対値19.6 m/sで打ち出したとき」
この例の使わせてもらいますと
「水平面からの仰角30°で打ち出し、ある地点(x,y)を通過または着弾したとき」の初速度Vはいくらかという問題で、仰角と(x,y)に任意の値を与えたときの初速度Vを知りたいのです。