物理学の質問です。

質問

1．摩擦のない机の上で、質量m1の粒子1が速さv1で、質量m2の静止している粒子2に衝突した。衝突後、それぞれ、角度θとΦの方向に散乱された(図は添付できませんが、一応、粒子1は角度θで斜め上へ、粒子2はΦで斜め下へと考えてください）。ただし、θ≠0および、Φ≠0とする。
a) 衝突後の粒子1および粒子2の速さを求めよ。
→使う式は
衝突後の粒子1と粒子2の速さをv1’、v2’とし、
m1v1^2/2=m1v1'^2/2 + m2v2'^2/2(エネルギー保存則)
m1v1=m1v1'cosθ + m2v2'cosΦ(水平方向の運動量保存則)
0=m1v1'sinθ-m2v2'sinΦ(鉛直方向の運動量保存則
であっていますか？
正誤にかかわらず、粒子1と粒子2の衝突後の速さはどんな式がいいのでしょうか？

b)完全弾性衝突の時にθとΦの間に
tanθ＝(m2sin2Φ)/(m1-m2cos2Φ)が成り立つことを示せ。
→a)の式を使いましたが、どうやってもできなかったです。簡単でよいので教えてください。

2．ｘ(t)=v0(e^a1t)/(a1－a2) - v0(e^a2t)/(a1-a2)の式があります。eは自然対数です。
a1=-mk+√{(mk)^2-mω^2} a2=-mk-√{(mk)^2-mω^2} で、kとωは正の定数とします。ω<kを満たしています。上記の式を用いて、位置x(t)が最大値をとる時刻t1を求めてください。

3．質量mの質点の位置ベクトルをｒ(x、y、z)とし、この質点の運動量ベクトルをｐ＝mdr/dt=(px,py,pz）とする。角運動量ベクトルL＝ｒ×ｐとする。この質点にｒ方向の力F＝ｋｒ(ｋは定数）が働いているとき、Lが保存することを示せ。

4．等速円運動の向心加速度の大きさをa、周期をTとする。aをTとr(相対距離)を用いて表せ。
→a=rω^2で、T＝2π/ωだからωの形にしてaの式に代入するだけでいいでしょうか？

以上です。長文で図もないため、やりずらいことかと思いますが、一問でもわかる方は一問でもよいのでお願いします。

回答No.4

Quarks · ベストアンサー

>>tがこの間の値の場合は
>>a1>0,a2<0 かつ|a1|<|a2|なので
>これはどういうことでしょうか？
>xが負にならないために、a1>0,a2<0だと思いましたが、|a1|,|a2|では負になるからわからないです。

この後で、対数表現することを想定していました。対数表現するためには、真数条件（真数>=0)を考慮しておかないとまずいわけで、そのために、各文字式の値の正負をチェックしているわけです。

a1/a2=(e^a2t)/(e^a1t)=e^((a2-a1)t)
ここから、無造作に
log(a1/a2)=(a2-a1)t
としてしまうと
t=log(a1/a2)/(a2-a1)
となってしまいます。　a2<a1ですから、t<0となってしまい、おかしな結論になってしまうのです。
真数条件をないがしろにしたからです。

絶対値は必ず０以上であることが保証されていますから、絶対値を用いて真数を表現しておけば、正しい結果をもたらしてくれます。
a1>0,a2<0　ですから　a1/a2<0ですね。　これを絶対値で表現し直すと
a1/a2=-(|a1/a2|)
また、-e^((a2-a1)t)=e^{-((a2-a1)t)}=e^(a1-a2)t
∴|a1/a2|=e^(a1-a2)t
という式を導けるわけです。左辺は絶対値になっているので、０以上の数値ですから、両辺の対数をとる際、真数条件を自然に満たしていますから何も問題は起こらないのです。

|a1|<|a2|のほうですが
|a1|<|a2|であることは、a1,a2の具体的な式（-mk＋√(…)と-mk-√(…)）を見較べれば、明らかですね。
a1>0　なので　e^a1＝e^|a1|>0
a2<0　ですから　e^a2=e^(-|a2|)=1/e^|a2|>0
|a1|<|a2|のとき
e^|a1|>1/e^|a2|
が成り立ちますから、
e^a1t>e^a2t
が言えることになります。

-------追記について------
>合力は、Ａ→Ｃの方向で
>(μ0I^2/2πｒ)・(√2)＋(μ0I^2/2π(ｒ・√2)
>＝(μ0I^2/2πｒ){(√2)＋(1/√2)}
>＝(μ0I^2/2πｒ)(3/√2)
>とおっしゃっていました。当時は頭で計算していたため、変な理解をしてしまいました。(r・√2)は対角方向の長さで、(>√2)は何を示している？

最初の式の第１項　(μ0I^2/2πｒ)・(√2)　の√2でしょうか。

横方向の力（BからAに及ぼされる力）　μ0I^2/2πｒ　と、縦方向の力（DからAに及ぼされる力で、これも大きさは）μ0I^2/2πｒ　との　ベクトル和　（斜め方向で、各力の√2倍　の大きさ）
ですから　√2　を掛けています。　このベクトル和は、CからAに加わる力と同じ方向ですから、合力は
A→Cの方向で、大きさが　(μ0I^2/2πｒ)・(√2)＋(μ0I^2/2π(ｒ・√2)
となるわけです。

お礼

なるほど。
とても丁寧に教えていただきありがとうございました。

ちなみに、追記についてですが、
x，y方向別に力を分けて、F＝√(Fx^2+Fy^2)ではだめですか？一応、答えは一致しているのですが・・・。
式は
Fx＝μ0I^2/2πa+(μ0I^2/2π√2a)cos45°(1/√2)
Fy＝μ0I^2/2πa+(μ0I^2/2π√2a)sin45°(1/√2)
より、
F＝√(Fx^2+Fy^2)
=3μ0I^2/2√2πa
です。

回答No.5

Quarks

>x，y方向別に力を分けて、F＝√(Fx^2+Fy^2)ではだめですか？一応、答えは一致しているのですが・・・。
>式は
>Fx＝μ0I^2/2πa+(μ0I^2/2π√2a)cos45°(1/√2)
>Fy＝μ0I^2/2πa+(μ0I^2/2π√2a)sin45°(1/√2)
>より、
>F＝√(Fx^2+Fy^2)=3μ0I^2/2√2πa

はい、それも、正しい解答です。

回答No.3

Quarks

２　まずは、x(t)の時間変化の概略を見てみましょう。
t=0では
x(t)=v0/(a1－a2) - v0/(a1-a2)=0
t→∞　では
e^a1t=e^a2t　ですから　x(t)→0
つまり、物体は原点から出発して、最終的には原点に戻ってきているわけです。

tがこの間の値の場合は
a1>0,a2<0 かつ|a1|<|a2|なので
e^a1t -e^a2t>0
つまり、x(t)>0 なので、x(t)には最大値が存在していると判断できます。
また、最大値を取るときは、dx/dt=0の条件を満たしているはずです。

dx/dt=0　
v0/(a1-a2)(a1・e^a1t-a2・e^a2t)=0
v0/(a1-a2)<>0なので
a1・e^a1t-a2・e^a2t=0
a1/a2=(e^a2t)/(e^a1t)=e^((a2-a1)t)
a1>0、a2<0 なので、左辺は負
|a1/a2|=-1・e^((a2-a1)t)=e^((a1-a2)t)
両辺の対数を取って
log(|a1/a2|)=(a1-a2)t
∴　t=log(|a1/a2|)/(a1-a2)
必要なら、
a1=-mk+√{(mk)^2-mω^2}
a2=-mk-√{(mk)^2-mω^2}
を代入して変形整理しても良いと思います。

お礼

>tがこの間の値の場合は
a1>0,a2<0 かつ|a1|<|a2|なので

これはどういうことでしょうか？

xが負にならないために、a1>0,a2<0だと思いましたが、|a1|,|a2|では負になるからわからないです。

また以前、http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6965830.html via @oshiete_gooで教えていただいた、問題の問2で、
合力は、Ａ→Ｃの方向で
(μ0I^2/2πｒ)・(√2)＋(μ0I^2/2π(ｒ・√2)
＝(μ0I^2/2πｒ){(√2)＋(1/√2)}
＝(μ0I^2/2πｒ)(3/√2)
とおっしゃっていました。当時は頭で計算していたため、変な理解をしてしまいました。(r・√2)は対角方向の長さで、(√2)は何を示しているのでしょうか？
便乗してすみません。

回答No.2

Quarks

２　は、単純にx(t)をtで微分するなどして最小値を取る条件を調べれば良いのではないでしょうか。
a1>a2、a1-a2=2√{(mk)^2-mω^2}>0 　などを考慮することになるのかな。

実際に確認してはいませんが(^^;

３　L=r×P
dL/dt=(dr/dt)×P＋ｒ×(dP/dt)
P=ｍ・dr/dtなので　第１項はdr/dt同士の外積（自分自身との外積）を含むので０です。
また、運動方程式から　dP/dt=F　でしたから
第２項は、ｒ×F 　これは、Fのモーメントですね。今は　ｒ//Ｆ　ですから、モーメントは０です。よって　第２項も０です。
∴dL/dt=0
これは、Ｌが時間変化に対して保存されることを意味しています。

４　相対距離 とは何かが不明ですが、単純に回転中心と物体のとの距離であるとしてよいものならば、質問者さんが書かれているとおりで良いのではないでしょうか。

お礼

2はまだわかりませんが・・・
一応、a1e^(a1t)=a2e^(a2t)まで式展開して、ここからがわからないです。

ほかは、理解できました。
ありがとうございました。

回答No.1

Quarks

取り敢えず１だけ

１．a)運動量保存則による定式は良いのですが、衝突が完全弾性衝突であるという条件が明記されていないので、力学的エネルギー保存則（実質的には、運動エネルギーの保存ですが）が成り立つ保証はありません。
　数学的に見ても、m1,m2,v1,θ,φは既知ですから、未知数はv1',v2'の２つ。∴独立した2本の方程式が与えられていれば、未知数は決定できますから、水平・鉛直各方向の運動量保存で十分解けるはずです。
v1'=v1・sinφ/sin(θ+φ)
v2'=v1・(m1/m2)・sinθ/sin(θ+φ)

b)　a)の結果を、運動エネルギー保存則の式に代入して、係数（1/2)を消去しておくと
m1・v1^2=m1・(v1・sinφ/sin(θ+φ))^2＋m2・(v1・m1・sinθ/(m2・sin(θ+φ)))^2
v1<>0なので全体をv1^2で除して、
m1=m1・((sinφ)^2/(sin(θ+φ))^2)＋m1・(m1/m2)・((sinθ)^2/(sin(θ+φ))^2))
適宜整理して
m2・（sinθcosφ＋sinφcosθ)^2=m2・(sinφ)^2＋m1・(sinθ)^2　式（ア）
ここで、左辺を展開すると
（sinθcosφ＋sinφcosθ)^2=(sinθ・cosφ)^2＋2sinθcosθsinφcosφ＋(sinφcosθ)^2
その上で（ア）を(cosθ)^2で除し、さらに
sinθ/cosθ=tanθ，1/((cosθ)^2)=１＋(tanθ)^2
(cosθ)^2-（sinθ)^2=cos(2θ)，2sinθcosθ=sin(2θ)
等の変形公式を利用して整理すると、所期の式ができあがる。

お礼

なんとか解けました。
細かく教えていただきありがとうございました。