楕円と法線

質問

次の問題に解答してください。
「楕円C:(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1(a>0,b>0,a≠b)上の点PにおけるCの法線をlとする。
PがCを一周するとき、lが通過する回数を領域別に求めよ。」

答は
「星形(アステロイド)(ax)^(2/3) + (by)^(2/3) = (a^2-b^2)^(2/3)
をC'とおくとC'の内側は4回、外側は2回」
らしいのですが、C'上ではどうなっているのか、またどうやって求めるのかわかりません。
教えて下さい。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

正確性にやや難のありうる雑駁な回答ですが、あしからず・・・

はじめに、a>b(>0)としても一般性を失わない（a<bの場合は、
a>bの場合の楕円を90°回転したものと同じにすることができる
ため）ことから、当該条件を付す。

楕円上の点Pの座標は、パラメータθにより、
(x,y)=(a・cos(θ), b・sin(θ))と表せる。

この時、Pの接線方向のベクトルは、
(dx/dθ,dy/dθ)=(-a・sin(θ), b・cos(θ))となるので、
法線lの方程式は、
-a・sin(θ)(x-a・cos(θ))+b・cos(θ)(y-b・sin(θ))
=-ax・sin(θ)+by・cos(θ)+(a^2-b^2)sin(θ)cos(θ)=0
となる。

「PがCを一周するとき、lが通過する回数」とは、
「θが0→2πまで動く場合において、
点(x,y)の座標値を、上記の法線の方程式の左辺に代入した
とき、その符号が何回反転するか」として求められる。

f(θ)={-ax・sin(θ)+by・cos(θ)}+(a^2-b^2)sin(θ)cos(θ)
=sqrt(a^2x^2+b^2y^2)sin(θ+α)+(a^2-b^2)/2・sin(2θ)
　ただし、cos(α)=-ax/sqrt(a^2x^2+b^2y^2)
　　　　　sin(α)= by/sqrt(a^2x^2+b^2y^2)
　　　　　0<=α<=2π

なお、x>0,y>0の場合には、π/2<α<π の範囲になるので、第1象限上の
領域をまず考察する。

sin(θ+α)、sin(2θ)のグラフを書くことにより、f(θ)は、
θ=(π-α)→π/2　で、正→負に反転
θ=π→(2π-α)　で、負→正に反転　がわかる。一方、
・f(3π/2)=-sqrt(…)cos(α)=正
・f(5π/2-α)=sqrt(…)+(a^2-b^2)/2・sin(2α)=正+負
・f(2π)=sqrt(…)sin(α)=正
となることから、ここで「非負のまま」か「正→負→正」か
の２つの可能性がわかる。

総合すると、
・正→負→正（→非負のまま）　；反転は2回。
・正→負→正→負→正　；反転は4回。

次に、3π/2～2πの範囲で、正→零→正となる境界的なケースに
ついて考察する。ちょうど零となるθにおいては、
f(θ)=df(θ)/dθ=0　となることから、
・-ax・sin(θ)+by・cos(θ)}+(a^2-b^2)sin(θ)cos(θ)=0
・-ax・cos(θ)-by・sin(θ)}+(a^2-b^2)(cos^2(θ)-sin^2(θ))=0
これより、
by+(a^2-b^2)sin^3(θ)=0　（1番目式×cos(θ)-2番目式×sin(θ)）
-ax+(a^2-b^2)cos^3(θ)=0　（1番目式×sin(θ)+2番目式×cos(θ)）
両式から、θを消去すると
(-by)^(2/3)+(ax)^(2/3)=(by)^(2/3)+(ax)^(2/3)=(a^2-b^2)^(2/3)
すなわちアステロイドC'（但し、第1象限）となる。

第2,3,4象限についても、対称性を考慮しつつ同様に考えればよい。

どちらが2回、4回かは、どこかの点（原点、遠く離れた点）を例に、
作図等でトライしてみれば、前者が外側、後者が内側だとわかると思います。

お礼

やっぱり三角関数の合成をする必要があったんですか。
実は法線の方程式まではできましたが、その先が煩雑そうでやらなかったんです。
やっぱ手間を惜しんではいけませんね。

回答大変ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

-ax(sinθ) + by(cosθ) + (a^2 - b^2)(sinθ)(cosθ) = 0　　…(*)
が成り立つ θ の個数が、(x,y) を通る法線の個数となる。
これを言うとき、a ≠ b によって
異なる θ に対応する法線が一致してしまうことは
θ = 0, π/2、π, (2/3)π 以外では生じない
ことが重要である。

符号変化の話にしてしまうと、左辺が極値 0 を持つとき
うまくいかない。実際、(x,y) が
アステロイド (ax)^(2/3) + (by)^(2/3) = (a^2-b^2)^(2/3)
の周上にあるときは、(*) の解が重解となる。

アステロイドの辺上では、(*) の解 θ は 3 個。
アステロイドの頂点では、(*) の解 θ は 1 個。

お礼

回答大変ありがとうございました。

私もθの個数で法線の数を調べたんですが、
合成を行う先が煩雑そうだったためやりませんでした。

アステロイド上のθの個数を書いてくださったのは大変ありがたかったんですが、
今回はNo.1さんは解法も書いていただけたので、No.1さんに20ptを差し上げました。
(双方に20pt差し上げられればそうしたかったんですが…)

また質問する機会があれば、回答していただければ幸いです。