楕円上の点と２焦点の距離の和

質問

楕円(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上の点と2焦点の距離の和は、一定であることを以下の方針で示せ。Ｌをa,b,e,θを用いて表せ。
ただし、a>bと仮定し、e=√{1-(b^2/a^2)}と置く。

1.楕円上の点(acosθ,bsinθ)と2焦点の距離の和Ｌをa,b,e,θを用いて表せ。
2.Ｌを簡単にせよ。(ヒント：Ｌ^2の根号をはずすことによってθを消去できる)

楕円上の点をＰ，2焦点をF(c,0)，F'(-c,0)と置くと
PF+PF'ですよね。
2焦点の和って2aにですよね。
L=2a　じゃダメ？
PF=√(bsinθ)^2+(c-acosθ)^2
PF'=√(bsinθ)^2+(c+acosθ)^2
c=√(a^2-b^2)
cをPF,PF'に代入すると二重根号になるし、計算できないし・・・。
でどのようにすれば良いのでしょうか？
教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.4

age_momo

以前、全く同じ問題に答えたことがあります。
やはり
L=2ae*cosθ
となって悩んでいました。
補足と私の回答を参照ください。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1085152.html

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。
たしかにそうですね。
PF=cosθ√(a^2-b^2)-a
だとPFが負になってしまいますね。

回答No.3

kakkysan

焦点の定義は？
c=ae に注目！ F(ae、0) ， F'(－ae、0)

L=PF+PF'＝√(bsinθ)^2+(ae-acosθ)^2＋√(bsinθ)^2+(ae+acosθ)^2

L^2＝2(bsinθ)^2+2a^2(e^2+cos^2θ)
+2{√(bsinθ)^2+(ae-acosθ)^2×√(bsinθ)^2+(ae+acosθ)^2
右辺の√の式＝L^2－{2(bsinθ)^2+2a^2(e^2+cos^2θ)}
両辺２乗して根号をはずす。（後の計算はお任せします）

お礼

回答ありがとうございます。
c=ae
確かにそうですね。
計算やってみます。
なんとなくすべて計算していくと
L=2aとかになったりする気がしてきました。

補足

計算しました。そしたら余計こんがらがってきて・・・。
そこでPFをもう少しきれいな形にしてみました。
PF=√{(b^2sin^2θ)+(a^2e^2)-(2a^2ecosθ)+(a^2cos^2θ)}←展開

=√{b^2(1-cos^2θ)+(a^2e^2)-(2a^2ecosθ)+(a^2cos^2θ)}
　　　　　　↑sin^2=1-cos^2θ

=√{(a^2-b^2)cos^2θ-(2a^2ecosθ)+(a^2e^2)+b^2}
　　　↑cos^2θの順番に並び替えた

=√{(a^2*e^2cos^2θ)-(2a^2ecosθ)+a^2-b^2+b^2}
　　　↑a^2-b^2=a^2*e^2を代入

=√{(a^2*e^2cos^2θ)-(2a^2ecosθ)+a^2}

=√{(a*e*cosθ-a)^2}

=a(ecosθ-1)

同様に
PF'=a(ecosθ+1)

L=PF+PF'=2aecosθ

となったのですが、根号とかすでになくなってしまって・・・。
L^2してないのですがこのやり方ではダメなのでしょうか？
やはり、NO.2さんとNO.3さんの言ってるように
根号がある状態で２乗しないといけないんでしょうか？

もうひとつ疑問で、上のようにやってもL=2aにならなかったのは
どうしてなのでしょうか？

すいません質問ばかりしてしまって・・・。

回答No.2

kabaokaba

確かに問題がおかしい．
楕円の定義を方程式そのものにすれば
つじつまがあうけども，
今度は焦点の定義が問題になる

それに a>b を仮定していれば
L=2a はそもそもの定義だから正解

eのことを離心率というのだが
これはLの計算には出てこない．

まあ，ごりごり計算するならば

>PF=√(bsinθ)^2+(c-acosθ)^2
>PF'=√(bsinθ)^2+(c+acosθ)^2
>c=√(a^2-b^2)

L = PF+PF' をまず二乗する
そしてその結果を
PF・PF'=・・・・
の形に変形して，これを二乗する．
すると，何かがでてくるはずだ（計算してないけど）

お礼

回答ありがとうございます。
計算してみます。

回答No.1

noname#69788

この問題はおかしいです。2点からの距離の和が一定というのが楕円の定義だからです。

お礼

回答ありがとうございます。
問題がおかしい？ということは答えがないのでしょうか？