法線ベクトルについて

質問

空間座標系において、平面 ax+by+cz=k　の法線ベクトルは(a,b,c)でよろしいのでしょうか？

回答No.4

noname#20644

点(X,Y)の位置ベクトルをV(X,Y)と書く事にします。

平面を原点を通るようにz軸に沿って平行移動させ、
a・x+b・y+c・ｚ=0 として、これをベクトルの内積と見なせば、
{a・V(1,0,0)+b・V(0,1,0)+c・V(0,0,1)}・{x・V(1,0,0)+y・V(0,1,0)+z・V(0,0,1)}=0 と表わせ、この平面に直交するベクトルが、V(a,b,c) である事が示されている。

回答No.3

yumisamisiidesu

法線ベクトルになることの証明は以下です.

(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)∈R^3がax+by+cz=k上にあるとき

ax1+by1+cz1=k　(1)
ax2+by2+cz2=k　(2)
(1)-(2)より
a(x2-x1)+b(y2-y1)+c(z2-z1)=0
(a,b,c)・(x2-x1,y2-y1,z2-z1)=0
∴　(a,b,c)⊥(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

お礼

わざわざ証明までありがとうございました

回答No.2

mangou-kutta

はい、ＯＫです。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

4951snk

これを見ると、それでいい気がします。
（以下参考URLのコピー＆ペースト）
点P ( x 0 , y 0 , z 0 ) を通り，法線ベクトルが n → =( a,b,c ) の平面の方程式は
a( x− x 0 )+b( y− y 0 )+c( z− z 0 )=0 　
と表わされる。また，平面の方程式は一般に
ax+by+cz+d=0 　 （一般形）
と表される。このとき，平面の法線ベクトルは n → =( a,b,c ) となる。

　ので、x,y,zそれぞれの傾きがa,b,cなら、平面の法線ベクトルは n → =( a,b,c ) になるようです。

参考URL：

http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/kuukan-to-bekutoru/heimen-no-houteisiki.html

お礼

ありがとございました