楕円面と平面の交線は楕円の理由を教えて下さい

質問

楕円面(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1と平面lx+my+nz=p(l^2+m^2+n^2=1,p=0)の交線は楕円という記述を見ました。その訳を教えていただけないでしょうか？またp=0の条件は必要でしょうか？

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

２次曲面で表される曲面同士の交線は２次曲線になります．
２次曲線は，放物線，双曲線，楕円がありますが，楕円面と平面の交線がこのうち楕円になるのは明らかでしょう．
質問のp=0の条件はいらないと思います．

お礼

早速のご回答ありがとうございます。もう少し勉強したいと思います。

回答No.2

kabaokaba

p=0の条件は，交線が必ず存在することを保証するために
ついてるだけですので，本質的ではないです．

交線が楕円になることの直観的な納得の仕方ですが
特別な平面z=0を考えると，この平面と楕円面の交線は
明らかにz=0上の楕円です．
原点を通る一般の平面（質問にある平面です）は
平面z=0を「ちょっとずつ」傾けることで得られます．
また，楕円面は「有界」ですので，交線も有界な図形です．
更に二次曲面は二次式で平面は一次式なので
その交線の軌跡も二次式と考えられます．
したがって，「ちょっと傾けた」くらいでは
有界な二次曲面だという性質は変わらないでしょうし，
それならば「楕円」ということも変わらないでしょう．
「ちょっと傾け」を繰り返すことで
平面同士は移りあうので，結局，交線は楕円のままです．

お礼

ありがとうございました。図書館で少し調べたのですがヒットしませんでした。私も座標系を回転させようと思いましたが気力が足りませんでした。
結局、＃２さんのように二次形式の線形変換は二次形式で、このうち閉じた曲線は楕円と言うことでよいのかなと。