接線・法線

質問

m≠0とし、原点を通る傾きmの直線をｌとする。
ｌに原点で接するような放物線P：y=a(x-b)^2+cと考える。

（１）ｃをｂとｍで表せ。
（２）ｌと原点で⊥煮交わる直線をl’とする。
放物線Pとｌ’との原点以外の当店の座標をbとmで表せ。

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

回答No.1

info22_

(1)
P：y=a(x-b)^2+c ...(A) より
y'=2a(x-b)、原点での傾きは　x=0とおいて -2ab
原点での接線は y=-2abx ...(B)
これが接線l：y=mx ...(C)と同一であることから
m=-2ab ...(D)
m≠0より ab≠0 ...(E)
a=-m/(2b) ...(F)
Pの接線の接点が原点であることから　0=ab^2+c ...(G)
(D),(G)から　c=-ab^2=bm/2 ...(H) ←(1)の答え

(2)
l':y=-x/m ...(I)
(A)と(I)の原点以外の交点は
-x/m=-(m/(2b))(x-b)^2+bm/2
-(m/(2b))(x^2-2bx+b^2)+x/m+bm/2=0
m^2(x^2-2bx+b^2)-2bx-(b^2)(m^2)=0
x{xm^2-2b(1+m^2)}=0
x=0, 2b(1+m^2)/m^2
(I)より,原点以外の交点は
(x,y)=(2b(1+m^2)/m^2, -2b(1+m^2)/m^3) ←(2)の答え

お礼

ありがとうございました^^*

すっきり納得できました。