因数定理の問題

質問

P(x)は(x-1)^2で割ると2x-3余り、x-2で割りきれる
P(x)を(x-1)^2(x-2)で割ったときのあまりをもとめよ
という問題なんですが、
P(x)が二次方程式だという問題の時は、たとえば
P(x)=(x-2)(x-3)Q(x)+ax+b
と、元の方程式をこぉいうふうにおけば解けたんですけど、今回の問題、まづどぉいうふうにおいたらいいかからわからなくて…
答えは-x^2+4x-4ですが、どぉいうふうにおき、考えたらいいのか詳しく教えて下さい

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

emily-strangeさん、こんばんは。
同じように考えていったらいいですよ。

＞P(x)は(x-1)^2で割ると2x-3余り

ということなので、P(x)を(x-1)^2で割った商をQ(x)とすると、

P(x)=(x-1)^2Q(x)+(2x-3)・・・（☆）

とおけます。
また、(x-2)で割ると割り切れることから、
因数定理より、
P(2)=0
となりますね。
これを（☆）に代入すると、x=2を代入すればいいから、

P(2)=(2-1)^2Q(2)+(2*2-3)=0
Q(2)+1=0
Q(2)=-1
となります。

これは何を物語っているかというと、Q(x)は(x-2)
で割ると、－１余るということです。

よって、Q(x)を(x-2)で割った商をR(x)とおくと、

Q(x)=(x-2)R(x)-1・・・（★）

（★）を（☆）に代入すると、

P(x)=(x-1)^2Q(x)+(2x-3)
=(x-1)^2{(x-2)R(x)-1}+(2x-3)
=(x-1)^2(x-2)R(x)-(x-1)^2+(2x-3)
=(x-1)^2(x-2)R(x)-x^2+2x-1+2x-3
=(x-1)^2(x-2)R(x)-x^2+4x-4

となるので、(x-1)^2(x-2)で割ると、余りは-x^2+4x-4
となることが分かると思います。

お礼

あぁぁぁ、分かりました分かりました！！
代入して、代入して、あ、ありがとうございます！！

回答No.1

oshiete_goo

P(x)を３次式(x-1)^2(x-2)で割った商をQ(x)とすると，
余りは２次以下であり，この余りをさらに(x-1)^2で割ると，題意より余りは2x-3である．

P(x)＝(x-1)^2(x-2)Q(x)＋a(x-1)^2+2x-3　（aは定数）

P(2)＝０よりaを決定．
求める余りはa(x-1)^2+2x-3

お礼

ありがとうございます