数学の問題です

質問

放物線y=x^2+ax+bがx軸と相異なる２点P、Qで交わり、y軸と点Rで交わっているとする。
ただしb≠0とする。
３点P,Q,Rを通る円の方程式を求めよ。

円束の問題だと思うのですが・・・
P,Qを通る円の方程式がR(0,b)を通るように設定するとうまくいきませんでした；

どなたかご教示願います

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

３点の座標をＰ（α,0）、Ｑ（β,0）、Ｒ（0,b）とおき、また３点を通る円の中心をＣ（x0,y0）とします。

　まず、２点Ｐ、Ｑを通る円の中心は、対称性から問題の放物線の軸上にありますので、x0＝-a/2　となります。
　そこで、３点を通る円の方程式を　(x+a/2)^2+(y-y0)^2＝r^2 と置きますと、点Ｐ、点Ｒを通ることから、次の関係式が得られます。（ちなみに、点Ｑについては　x0＝-a/2　で既に条件を導き出しています。）

　(α+a/2)^2+y0^2＝r^2
　a^2/4+(b-y0)^2＝r^2

　この２式を連立してrを消去すると、y0が次のように求められます。

　　y0＝(b^2-α^2-aα)/(2b)
　　　＝(b-1)/2　　（∵　α^2+aα+b＝０）

　ここから、元の式にy0を代入して、ｒを求めます。

　　ｒ^2＝{a^2+(b+1)^2}/4

　あとは、円の方程式にy0とrを代入して求められると思います。

回答No.7

mister_moonlight

＞円束の問題だと思うのですが・・・

希望に沿った解法を、と言いたいところだが、この問題には不適当。

3直線の方程式を　Ａ＝0、Ｂ＝0、Ｃ＝0、とすると、m、n、kを任意の定数として、m*ＡＢ＋n*ＢＣ＋k*ＣＡ＝0　‥‥(1)は、3直線の作る三角形の3頂点を通る2次曲線を表す。

Ｐ（α、0）、Ｑ（β、0）、Ｒ（0、b）　α＞βとする。
直線ＰＱ：y＝0、直線ＱＲ：bx＋βy＝bβ、直線ＲＰ：bx＋αy＝bα。
これらを(1)に代入し、この2次曲線が円であるから、xyの係数＝0、x＾2の係数＝y＾2の係数とすれば良いんだが、如何せん、定数とはいえ文字の数が多すぎる。
とてもじゃないが、計算する気にはならない。ｗ

回答No.6

arrysthmia

No.1～No.5 に補足です。

No.1 のように未知数を置いた後、
P,Q,R の3点が求める円上にあること、
P,Q の2点が与えられた放物線上にあること
を素直に式にすれば、
α,β,x0,y0,r の5文字に関する5連立方程式
が得られ、解けば、円の式が求まります。
解法の見通しは、それだけです。

計算の途中で、式の右辺どおし左辺どおしを
引き算すると、2次項が一気に消えて
1次式になることがありますが、
これが、図形的には、垂直二等分線に対応します。

幾何的直観に頼る巧妙な解法は、
思いつかなければ、それまでです。
地味な計算機も忘れないでください。

回答No.5

cfv21

No.1～No.4の回答に補足します。

No.1の回答で、求める円の中心が放物線の軸上に来ることに着目していますが、これは、放物線とx軸との2交点の垂直二等分線上に円の中心が来ることに着目しているわけです。
であれば、x軸との交点とy軸との交点の垂直二等分線上に円の中心が来ることにも注目すべきで、2本の垂直二等分線の交点として円の中心を求める、という、発想法を覚えて頂きたいと思います。
この発想法は、難問と言われている京大の2009年乙[２](河合塾と代ゼミの解答ではなく、駿台と雑誌「大学への数学」4月号の解答を参考にしてください)においても有効な発想法です。

放物線：y＝x^2＋ax＋b
とx軸との交点のx座標は、
x^2＋ax＋b＝0　・・・・・・(1)
の2解α，βです。もちろん、相異2実数解をもつために、a^2－4b＞0です。

放物線の軸：x＝－(a/2)は、放物線とx軸との2交点を結ぶ線分の垂直二等分線で、求める円の中心はこの垂直二等分線上にあります。
また、円の中心は、放物線と、x軸との交点(α，0)，y軸との交点(0，b)を結ぶ線分の垂直二等分線：
y＝(α/b)(x－(α/2))＋(b/2)
＝(α/b)x－(α^2－b^2)/(2b)　・・・・・・(2)
上にもあります。従って、両垂直二等分線の交点が円の中心となり、(2)でx＝－(a/2)として、円の中心のy座標は、
y＝(α/b)(－a/2)－(α^2－b^2)/(2b)＝(b^2－aα－α^2)/(2b)　・・・・・・(3)
ここで、αは2次方程式(1)の解なので、
α^2＋aα＋b＝0
∴ －aα－α^2＝b
よって、(3)は、
y＝(b^2＋b)/(2b)＝(b＋1)/2
となり、求める円の中心は(－(a/2)，(b＋1)/2)です。円の中心と(α，0)，放物線の軸：x＝－(a/2)とx軸との交点、の3点を頂点とする直角三角形に三平方の定理を適用して、円の半径の2乗r^2は、
r^2＝(√(a^2－4b)/2)^2＋((b＋1)/2)^2＝(a^2＋(b－1)^2)/4
(x^2の係数が1の2次関数のグラフ(放物線)がx軸と2交点で交わるとき、放物線がx軸から切り取る線分の長さは√(判別式)です)
よって、求める円の方程式は、
(x＋(a/2))^2＋(y－(b＋1)/2)^2＝(a^2＋(b－1)^2)/4

どちらが速いか、解法の優劣というようなことではなく、垂直二等分線、という発想法を身につけて頂きたいと思います。

回答No.4

taka108

Ｐ、Ｑの座標を（Ａ，０）、（Ｂ，０）とすると、
ｘ＾２＋ａｘ＋ｂ＝０　…(1)　の解がｘ＝Ａ，Ｂとなる。これは、
（ｘ－Ａ）（ｘ－Ｂ）＝０　を意味し、展開すると、
ｘ＾２－（Ａ＋Ｂ）ｘ＋ＡＢ＝０　となる。(1)と比較すると、
ａ＝－（Ａ＋Ｂ）　…(2)
ｂ＝ＡＢ　…(3)　となる。
なお、Ａ，Ｂが異なるｘ軸上の点という条件からａ＾２－４ｂ＞０
求める円の中心座標をＯ（α、β）、半径をＲとすると、
（ｘ－α）＾２＋（ｙ－β）＾２＝Ｒ＾２　…(4)が成り立つ。
この円はＰ，Ｑ，Ｒを通る条件から、以下の３連方程式が得られる。
（Ａ－α）＾２＋β＾２＝Ｒ＾２　…(5)
（Ｂ－α）＾２＋β＾２＝Ｒ＾２　…(6)
α＾２＋（ｂ－β）＾２＝Ｒ＾２　…(7)
(2)、(3)、(5)、(6)、(7)より、Ａ、Ｂを消去すると
α＝－ａ／２　…(8)
β＝（ｂ＋１）／２　…(9)
Ｒ＾２＝（ａ＾２）／４＋｛（ｂ－１）＾２｝／４　…(10)
［注　(9)の導出にｂ≠０を使う］
(8)、(9)、(10)を求める円の方程式(4)に代入したものが解となる。
（ｘ＋ａ／２）＾２＋｛ｙ－（ｂ＋１）／２｝＾２＝（ａ＾２）／４＋｛（ｂ－１）＾２｝／４　（ただし、ａ＾２－４ｂ＞０）

回答No.3

Mr_Holland

＃１／＃２です。
　度々済みません。

　放物線は異なる２点と交わる条件が付されていることを、求めた円の方程式に付け加えた方が良いでしょう。
　従って、解答は次のようになると思います。

　　円の方程式：　(x+a/2)^2+{y-(b+1)/2}^2＝{a^2+(b-1)^2}/4
　　　　　　　　　ただし、a^2＞4b

回答No.2

Mr_Holland

＃１です。
　誤記がありましたので、下記の通り訂正させてください。

＞　　y0＝(b^2-α^2-aα)/(2b)
＞　　　＝(b-1)/2　　（∵　α^2+aα+b＝０）
（正）　＝(b+1)/2

＞　　ｒ^2＝{a^2+(b+1)^2}/4
（正）ｒ^2＝{a^2+(b-1)^2}/4