標本平均の分散

質問

X1,X2,...,Xnは　N(μ,1)に従います。
分散は既知で、帰無仮説H0,対立仮説H1　を
H0: μ=0
H1: μ=1
とする。
このとき、期待値μの推定量として
X' = Σ<1 n> a(i) * Xi ただし、Σ<1 n> a(i) =1　を考える。
※　ここでは a(i)は数列 a(1),a(2)....,a(n) の第i項とする。

有意水準αとしたとき　棄却域を求めよ。という問題です。

自分の対応↓
X'の平均は言うまでも無く μ。
次にX'の分散を考えたのですが、求められません。
自分で計算したら
V(X')= E((X'-μ)^2) = ...　=　n*Σ(a(i))^2　となり、a(i)が残ってしまいます。　　この計算は合っているのでしょうか？
アドバイスお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

計算はあってると思います。
で、a(i)が正規分布に従うんで、ｎ個の正規分布に従う確率変数の２乗和、がどんな分布に従うかが必要になります。
で、まさに、そういう分布を、「自由度nのt分布」って呼んでます。教科書に必ずのってるはず。

あと、まあ、この問題であれば、標本平均の分散
V(X') = E((X'-μ)^2)
を考えるのでいいとは思いますが、
ｔ分布を使う場合、普通は、「標本平均の分散」ではなくて、
（不偏）標本分散
1/(n-1) Σ (a(i) - X')^2
を考えることが多いです。

お礼

回答ありがとうございました。
そして返答遅くなり、申し訳ありません。

回答していただいたのですが、
腑に落ちない点がいくつかあります。
a(i)が正規分布に従うとき、a(i)の二乗和は　カイ二乗分布に従うのではないでしょうか。　a(i)の標本平均がt分布に従うのですよね？

あとふと思ったのですが、「a(i)が正規分布に従う」というのは、
Σ<1 n> a(i) =1　
からきたのでしょうか？　理由が私にはわからなかったので、もしよければご教授願いたいです。

せっかく回答していただいたのに　また質問をして申し訳ありません。
もし良かったらでいいので、返答お願いします