期待値と分散を知りたいです。

質問

統計学の質問ですがお願いします。
下の中の6番がわかりません

母集団全体における内閣支持率をｐ（ｐは未知定数）とする。母集団から無作為に抽出し、支持する場合は「１」、しない場合は「０」と変数Xに記録する。

１、Xは確率変数である。Xの確率分布を求めよ。
２、Xの期待値と分散を求めよ。

無作為抽出をｎ回独立に復元抽出で繰り返したとする。この無作為標本から得られた回答を上記と同様にX1、X2、…Xnに記録したとする。

３、S＝X1＋X2＋…＋Xnとすると、Sはなにを意味するか答えろ。
４、Sの期待値と分散を求めよ
５、X_（←エックスバーです）＝S/ｎと定義する。X_は何を意味しているか答えよ
６、X_の期待値がｐと分散ｐ（１-ｐ）/ｎになる。その証明過程を説明せよ。

わかる範囲でいいのでおねがいします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

６．を回答します．

一般に確率変数X,Yに対し

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(a,bは定数)

もしX,Yが独立なら

E(XY)=E(X)E(Y)

６．X_=(X1+X2+・・・+Xn)/nだから

E(X_)=(1/n){E(X1)+E(X2)+・・・+E(Xn)}

において

E(Xi)=1・p+0・(1-p)=p

∴E(X_)=(1/n)np=p

V(X_)=E((X_-p)^2)=E(X_^2-2pX_+p^2)

=E(X_^2)-2pE(X_)+p^2

=E((1/n)^2(X1+・・+Xn)^2)-2p^2+p^2

=(1/n^2)E((X1+・・+Xn)^2)-p^2

ここで

(X1+・・+Xn)^2=Σ_{1≦i≦n}Xi^2+2Σ_{1≦i<j≦n}XiXj

E((X1+・・+Xn)^2)=Σ_{1≦i≦n}E(Xi^2)+2Σ_{1≦i<j≦n}E(XiXj)

さらにここで

E(Xi^2)=1^2・p+0^2・(1-p)=0
E(XiXj)=E(Xi)E(Xj)=p・p=p^2(i≠jのときXi,Xjは独立)

であるから(Σ_{1≦i<j≦n}はnC2個の(i,j)に関する和)

E((X1+・・+Xn)^2)=np+2{n(n-1)/2}p^2=n(p-p^2)+n^2p^2

∴V(X_)=(1/n^2)(n(p-p^2)+n^2p^2)-p^2

=(p-p^2)/n=p(1-p)/n

お礼

わかりやすいです。
本当にありがとうございます。