統計学 確率分布の問題

質問

こんにちは。統計学を勉強している者ですが、
次の問題が解けずに困っています。

　n個の確率変数 X1, X2, … Xnが、
　次の母集団分布からのランダム標本であるとする。

　P(X=1)=p　，　P(X=0)=1-p=q

　このとき、Y=X1+X2+…+Xnの確率分布を求めよ。
　また、Yの平均と分散を求めよ。

という問題です。

Yの確率分布は、P(X=1)が選ばれる回数をkとすると
nCk * p^k * q^(n-k) になると思うのですが…。
確率分布と言われると、どう答えてよいのかわかりません。

平均と分散は、この確率分布の答えをもとにして
出せばいいのですか？
kやnをどう駆使して算出すればよいのでしょう？

答えの分かる方、詳しく解説してもらえると助かります。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

二項分布を用いた計算より，次の公式☆，★を用いた方が簡単です．

平均（期待値）の公式

（☆）E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(a,b定数)

から

E(Y)=E(X_1+X_2+・・・+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+・・・+E(X_n)

ここでE(X_i)=1・p+0・q=pであるから，

E(Y)=p+p+・・・+p=np（答）

分散は期待値から定義されます．E(Y)=mとおくと

V(Y)=E((Y-m)^2)

です．これは

V(Y)=E(Y^2-2mY+m^2)

=E(Y^2)-2mE(Y)+m^2E(1)

=E(Y^2)-m^2

となります．ここで

Y=X_1+X_2+・・・+X_n

Y^2=Σ_{i=1}^nX_i^2+2Σ_{1≦i<j≦n}X_iX_j

∴E(Y^2)=E(Σ_{i=1}^nX_i^2+2Σ_{1≦i<j≦n}X_iX_j)

=Σ_{i=1}^nE(X_i^2)+2Σ_{1≦i<j≦n}E(X_iX_j)

まずE(X_i^2)=1^2・p+0^2・q=p．次にX,Yが独立なら

（★）E(XY)=E(X)E(Y)

が成り立ちます．X_1,・・・,X_nは独立と考えて良いので

E(X_iX_j)=E(X_i)E(X_j)=pp=p^2(i<j)

∴E(Y^2)=Σ_{i=1}^np+2Σ_{1≦i<j≦n}p^2

=Σ_{i=1}^np+2Σ_{1≦i<j≦n}p^2

=np+2(nC2)p^2=np+{2n(n-1)/2}p^2

=np+n^2p^2-np^2=n^2p^2+np(1-p)

=n^2p^2+npq

∴V(Y)=E(Y^2)-(np)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2

=npq（答）

補足

たいへん分かりやすくありがとうございます。
確かにこのほうが簡潔ですっきりとしていますね。

確率分布に関しては二項定理のように説明するしかないのでしょうか…?