数学Bの標本平均とその分布について

質問

数研出版数学B教科書(p93)の下記説明文が分かりません。どなたか初心者にわかるように説明お願いします。「母平均m、母標準偏差σの母集団から大きさnの無作為標本を抽出し、その標本の持つ変量xの値として定まる確率変数X1,X2,･･･Xnとする。この抽出が復元抽出の場合、これらの各変数は、大きさ１の標本の確率変数とみなされ、それは母集団分布に従うから、E(X1)=E(X2)･･･E(Xn)= m ,σ(X1)=σ(X2)･･･＝σ」
Xとxとnの関係がよくわかりません。
（質問１）大きさnの無作為標本とは、標本の中の変量（データ？）の数がnで、さらに標本の数もn個、ということでしょうか。それとも、標本の中のデータの数がr個で標本の数がn個あるということでしょうか。
（質問２）Xnの意味は、標本の数がn個ということでしょうか。
（質問３）大きさnの無作為標本とは、標本の数がn個でしょうか。あるいは、ひとつずつの標本の中に変量がn個あることでしょうか。
（質問４）「変量xの値として定まる確率変数X1,X2,･･･Xn」の文では、変量xkについてkが1~rまでr個あり、X=xkとなる確率をpkとすると、標本X1について、x1p1+x2p2+･･･+xrpr=X1という式になる、ことでしょうか。
（質問５）「変量xの値として定まる確率変数X1,X2,･･･Xn」の文では、変量xkについてkが1~nまでn個あり、X=xkとなる確率をpkとすると、標本X1について、x1p1+x2p2+･･･+xnpn=X1という式になる、ことでしょうか。
（質問６）そうすると、確率変数X1~Xnまであり、大きさnの無作為標本ということになり、２種類のnがあることになりませんか。
以上、よろしくお願いします。

回答No.4

f272 · ベストアンサー

母平均m、母標準偏差σの母集団から大きさnの無作為標本を抽出するのを何度も繰り返すとは書いていないので，1度だけ抽出するのだと思う。そうすると解釈としては(ｱ)ということになる。

お礼

ご丁寧なサポート、何回もありがとうございました。すっきりしました。

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回答No.3

f272

回答者のほとんどは数研出版数学Bなんてものを持っていないのだから，必要な範囲でコピペしてもらわないと，何を言っているのかわからなくなります。

> ①大きさ1の無作為標本とは、どこに書かれているのでしょうか、

あなたの書いた文の途中に書かれていますが...
母集団分布と大きさ1の標本の値Xの確率分布と一致するのは無作為だからです。

> ②このE(X1)=E(X2)=mとなる大きさ1の無作為標本の確率変数X1,X2などは、どこにあるのでしょうか。

無作為に標本を取り出すのを何回も繰り返すことは可能です。それをX1，X2などと呼んでいるのでしょう。

補足

何度も有難うございます。理解度がとても深まった気がします。最後にもう１つだけお願いします。
当初の質問で、教科書に書いてある文面では、
「母平均m、母標準偏差σの母集団から大きさnの無作為標本を抽出し、その標本の持つ変量xの値として定まる確率変数X1,X2,･･･Xnとする。この抽出が復元抽出の場合、これらの各変数は、大きさ１の標本の確率変数とみなされ、それは母集団分布に従うから、E(X1)=E(X2)･･･E(Xn)= m ,σ(X1)=σ(X2)･･･＝σ」

この意味は、
(ｱ) 要素の数がnの１つの標本について、各要素の確率変数をX1,X2･･･Xnとすると、これらの変数は、復元抽出の場合、大きさ１の標本の確率変数をみなされ、それは母集団分布に従うから、E(X1)=E(X2)･･･E(Xn)= mとなる。
(ｲ) （「その標本の持つ変量xの値として定まる確率変数X1,X2,･･･Xnとする」文面から、n個の標本ごとに確率変数がX1,X2,･･･Xnと定まると解釈すると、）標本の数がn個の場合、各標本の変量xは、確率変数X1,X2,･･･Xnとなる。これらの各変数は、大きさ１の標本の確率変数とみなされ、それは母集団分布に従うから、E(X1)=E(X2)･･･E(Xn)= m となる。

このどちらかが間違っていると思いますが、どこが間違っているのでしょうか。どっちでもよいということはないですよね。よろしくお願いします。

回答No.2

f272

本来知りたいと思っている集団全体のことを母集団といい、母集団の情報を推測するために選ばれた一部の集団のことを標本と言います。標本の要素とは標本として取り出されたそれぞれのものであり、標本の要素の数というのは標本に含まれるものの数であって、それが標本の大きさnです。
母集団の情報を推測するために選ばれた一部の集団というのは1つの集団を考えています。要素がn個の標本が1個あるのです。

補足

数研出版数学Bのp90の例11の場合。
0と書かれたカードが5枚、1のカードが3枚、2のカードが2枚ある。母集団分布は、大きさ1の無作為標本の値Xの確率分布と一致する。X=0でP=5/10、X=1でP=3/10、X=2でP=2/10の確率分布表が書かれており、m=0×5/10+1×3/10+2×2/10=7/10となっています。

この例で、①大きさ1の無作為標本とは、どこに書かれているのでしょうか、②このE(X1)=E(X2)=mとなる大きさ1の無作為標本の確率変数X1,X2などは、どこにあるのでしょうか。

回答No.1

f272

(1)
大きさnの無作為標本とは、母集団から抽出された標本の数がnということです。各標本にはそれぞれ一つの変量があります。
(2)
Xnはn番目の標本が持つ変量が従う確率変数です。
(3)
大きさnの無作為標本とは、標本の数がn個です。
(4)
変量に添え字はありません。
(5)
変量に添え字はありません。
(6)
nは無作為標本の標本数です。

補足

早速のレス有難うございます。お蔭さまで、理解が進んでいる気がします。
(3)大きさnの無作為標本とは、標本の要素の個数がn個ですね（教科書p88)。要素がn個の標本がn個あるということでしょうか。2種類のnがあることになりますか？あるいは、ここでは要素の個数については、言及していないのでしょうか。