フーリエ係数の公式

質問

フーリエ級数の係数
an＝(1/π)∫f(x)cos(nx)dx,
bn＝(1/π)∫f(x)sin(nx)dx
積分区間：0≦x≦2π
の導き方を詳しく教えてください。

フーリエ展開の定義式の両辺にcos又はsin(mx)を掛け、両辺を積分するという所まではわかります。
そこから先を”詳しく”お願いします。

回答No.2

noname#21330 · ベストアンサー

∫sin(nx)dx=∫cos(nx)dx=0
∫sin(nx)sin(nx)dx=π(m=nの時)
　　　　　　　　　=0(上記以外の時)
∫cos(nx)cos(nx)dx=π(m=nの時)
　　　　　　　　　=0(上記以外の時)
∫sin(nx)cos(mx)dx=0

を見ればわかると思いますが、自分同士以外の積分は０になります。
これを直交性があるといいます。

∫f(x)cos(mx)dx=
Σ∫(ancos(nx)cos(mx)＋bnsin(nx)cos(mx))dx
=Σ(an∫(cos(nx)cos(mx))dx＋bn∫(sin(nx)cos(mx)))dx
で、第２項は、sin*cosの積分で０になりますね？
第１項も自分同士の掛け算以外、
つまり、am∫(cos(mx)cos(mx))dx以外は、０に成ります。

最終的には、
∫f(x)cos(mx)dx
=am∫(cos(mx)cos(mx))dx
=am*π

お礼

お蔭様でわかりました、ありがとうございました。

回答No.1

noname#21330

質問の趣旨がわからないところもあるのですが、
周期２πの周期関数は、
f(x)=a0+Σ(an*cos(nx)+bnsin(nx))
とあらわせるというところまでは良いでしょうか？

an=∫f(x)sin(nx)dx
となります。

ここから次の公式を使います。
∫sin(nx)dx=∫cos(nx)dx=0
∫sin(nx)sin(nx)dx=π(m=nの時)
　　　　　　　　　=0(上記以外の時)
∫cos(nx)cos(nx)dx=π(m=nの時)
　　　　　　　　　=0(上記以外の時)
∫sin(nx)cos(mx)dx=0

これで、導出可能なのですが。

お礼

ありがとうございました

補足

>ここから次の公式を使います。
∫sin(nx)dx=∫cos(nx)dx=0
∫sin(nx)sin(nx)dx=π(m=nの時)
　　　　　　　　　=0(上記以外の時)
∫cos(nx)cos(nx)dx=π(m=nの時)
　　　　　　　　　=0(上記以外の時)
∫sin(nx)cos(mx)dx=0

これで、導出可能なのですが。

そこまではわかります。そこから、実際に導出する際、式の途中に
Σ∫(ancos(nx)cos(mx)＋bnsin(nx)cos(mx))dxという項が出てきます。
これから先はどのようにして計算していくのかを詳しくお願いします。