f(t)×g(t)のフーリエ変換

質問

なぜf(t)、g(t)それぞれのフーリエ変換の畳み込み積分を2πで割ったものになるのですか？

回答No.2

guuman · ベストアンサー

一部ｆ→ηあるいはξに変更しなければならない

∫g(t)・h(t)・exp(-j・2・π・f・t)・dt
に
g(t)=∫G(ξ)・exp(j・2・π・ξ・t)・dξ
h(t)=∫H(η)・exp(j・2・π・η・t)・dη
を代入すると
∫∫dηdξ・G(ξ)・H(η)・∫dt・exp(j・2・π・(ξ+η-f)・t)
=∫∫dηdξ・G(ξ)・H(η)・δ(ξ+η-f)
=(G*H)(f)
と簡単に求められる

δ関数の知識があるとこのように簡単

回答No.1

guuman

2・πで割るかどうかや別の数で割るかどうかは定義しだいです
割らんでもいい定義を使えばいいでしょう

∫g(t)・h(t)・exp(-j・2・π・f・t)・dt
に
g(t)=∫G(ξ)・exp(j・2・π・ξ・t)・df
h(t)=∫H(η)・exp(j・2・π・η・t)・dη
を代入すると
∫∫dfdξ・G(ξ)・H(η)・∫dt・exp(j・2・π・(ξ+η-f)・t)
=∫∫dfdξ・G(ξ)・H(η)・δ(ξ+η-f)
=(G*H)(f)
と簡単に求められる

δ関数の知識があるとこのように簡単

お礼

ありがとうございました