非斉次微分方程式

質問

x''(t)-2*x'(t)+2*x(t)=t^2
x(0)=3,x'(0)=0となるx(t)を求めよ。
できれば、解法の手順をやさしく教えてください。
お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

斉次方程式の一般解
特性方程式
s^2-2s+2=0
s=1±i
x(t)={C1cos(t)+C2sin(t)}e^t…(1)
特解は
x(t)=at^2+bt+cとおいて微分方程式に代入して
tの恒等式として左辺、右辺の同じ次数の係数を等しいとおいて係数決定すると
a=c=1/2,b=1
x(t)=(1/2)t^2+t+(1/2)…(2)

非斉次微分方程式の一般解は(1),(2)を加えて
x(t)={C1cos(t)+C2sin(t)}e^t+(1/2)t^2+t+(1/2)　…(3)
これを微分してx'(t)を計算して
初期条件x(0)=3,x'(0)=0を適用して
C1,C2の方程式を作る。
C1+(1/2)=3, C1+C2+1=0
これをとくと,C1=5/2,C2=-7/2
これを(3)に代入すれば、最終的な答えの式になります。

後はできると思うのでやってみてください。

お礼

やり方がわかりました。
丁寧にありがとうございます。