微分方程式

質問

x''(t)-10*x'(t)+29*x(t)=0の解x(t)でx(0)=2,x'(0)=2
となるものはx(t)=
という問題の解法を１からやさしく教えてください。
お願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の結果のx(t)の式は2を括りだしておいた方がいいかも知れませんね。
>∴x(t)={e^(5t)}{2cos(2t)-4sin(2t)}
=2{cos(2t)-2sin(2t)}e^(5t)

検算）
t=0で初期値x(0)=x'(0)=2を満足しているかを確認すると良いですね。
(#1さんの方の答えはx'(0)=2を満たしていないようです。）

回答No.2

info22_

この位の定数係数同次（斉次）二階微分方程式の解法は、微分方程式の教科書ならどこにでも載っているよ。ここに質問する前にまず質問者の方で解いてみる自力努力も必要かと思うけど、どうでしょうか？
今回はおまけで解答しておきますが。。。あまり他力本願は感心しませんよ。

特性方程式は
s^2-10s+29=0, s=5±2i
したがって
x(t)=e^(5t){C1cos(2t)+C2sin(2t)}…(A)
微分して
x'(t)=e^(5t){(5C1+2C2)cos(2t)+(5C2-2C1)sin(2t)}
初期値を代入
x(0)=C1=2
x'(0)=5C1+2C2=2 → C2=-4
(A)に代入
∴x(t)=e^(5t){2cos(2t)-4sin(2t)}

回答No.1

spring135

右辺が0で定数係数の線形微分方程式は微分をDで置き換えた特性方程式
D^2-10D+29=0
の解c1,c2を用いて
x=a*e^(c1*t)+b*e^(c2*t)
で表されることがどんな教科書にも書いてあります。(a,bは定数）
今の場合、
C1=5+2i,C2=5-2i(iは虚数単位）
初期条件からa,bが決まります。
結果はa=1+2i, b=1-2i
e^(c1*t)=e^(5+2i)t=e^5t(cos2t+isin2t)
などを使って整理すると
x=2e^5t(cos2t-12sin2t)

検算してください。