微分方程式

質問

dy/dx=y/(x-1)(x+1)の解法を教えてください。
対数まではいくのですが、その先がわかりません。

回答No.1

gtmrk · ベストアンサー

こんにちは。
一応はじめから書きますと、まず

　(1)　　(1/y) * (dy/dx) = 1 / {(x-1)(x+1)}

と変数分離します。
ここで右辺を部分分数分解します。
普通に未定係数法でやればよいです。

　(2)　　(1/y) * (dy/dx) = (1/2) * {1/(x-1) - 1/(x+1)}

両辺を x で積分します。

　(3)　　∫(1/y)dy = (1/2) * ∫{1/(x-1) - 1/(x+1)}dx
　　　　　　⇔　　ln(y) = (1/2) * [ln(x-1) - ln(x+1)] + C
　　　　　　　　　（C は積分定数）
　　　　　　⇔　　ln(y) = ln[√((x-1)/(x+1))] + C
　　　　　　⇔　　y = C * √((x-1)/(x+1))
　　　　　　　　　（exp(C) を新たに C とおいた）

となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。lnとはlogのことでしょうか。

回答No.2

gtmrk

No.1 です。

おっしゃる通り、
ln(x) とは 『底を e とする対数』すなわち log[e](x) のことです。
一般的な底を持つものや 常用対数と明確に区別するための表現ですね。