1階線形常微分方程式 定数係数非斉次線形微分方程式

質問

微分方程式の解法に苦戦しています。
お力添えよろしくおねがいします。

dy/dx + ax = b exp(cx) cos(dx) + e exp(cx) sin(dx) + f
a, b, c, d, e, fは定数

この微分方程式の解法がわかりません。
手元にある参考書には基本形として、

dy/dx + ax = b exp(cx) cos(dx)及び、dy/dx + ax = b exp(cx) sin(dx)

の解法は記述されていますが、
これをどのように応用すれば良いのかが記述されていません。

容易な問題だとは思いますが、解法の手順を具体的にご説明いただくと幸いです。
よろしくおねがいします。

回答No.2

alice_44

y' + ay = b exp(cx) cos(dx) + e exp(cx) sin(dx) + f
だとすると、両辺に exp(ax) を掛けて、

左辺 = y' exp(ax) + y a exp(ax)
= {y exp(ax)}'

右辺 = exp(Ax) {b cos(dx) + e sin(dx)} + f exp(ax)　　; A = a+c
= exp(Ax) {R sin(dx+S)} + f exp(ax)　　; 三角関数の合成

両辺を積分して、
y exp(ax) = R ∫exp(Ax)sin(dx+S)dx + (f/a) exp(ax) + (積分定数)
よって、y = …

後は、∫exp(Ax)sin(dx+S)dx を計算すればよいですね。

P = ∫exp(Ax)sin(dx+S)dx,
Q = ∫exp(Ax)cos(dx+S)dx と置いて、
部分積分から
P = (1/A)exp(Ax)sin(dx+S) - ∫(d/A)exp(Ax)cos(dx+S)dx
= (1/A)exp(Ax)sin(dx+S) - (d/A)Q,
Q = (1/A)exp(Ax)cos(dx+S) - ∫(d/A)exp(Ax){-sin(dx+S)}dx
= (1/A)exp(Ax)cos(dx+S) + (d/A)P.
これを P,Q の連立一次方程式として解くと、P が求まります。

dy/dx + ay = b exp(cx) sin(dx) の解法が手元にあるなら、それに
三角関数の合成 R sin(dx+S) を付け加えるだけだと思いますが。

回答No.1

Knotopolog

dy/dx ＋ ax ＝ ・・・，は，dy/dx ＋ ay ＝ ・・・，の間違いではないでしょうか？
間違いでないとすると，

dy/dx ＋ ax ＝ b exp(cx) cos(dx) ＋ e exp(cx) sin(dx) ＋ f

dy/dx ＝ b exp(cx) cos(dx) ＋ e exp(cx) sin(dx) ＋ f － ax

y ＝ ∫[ b exp(cx) cos(dx) ＋ e exp(cx) sin(dx) ＋ f － ax ] dx ＋ A
　　　　　　　　　( A は積分定数)

これで微分方程式の一般解が解けています．
あとは，不定積分 ∫[ b exp(cx) cos(dx)＋e exp(cx) sin(dx)＋f－ax] dx＋A を計算するだけです．

補足

申し訳ございません。
ご指摘の通り、dy/dx + ay = ・・・です。

解けるでしょうか？？