次の微分方程式について
次の問題について考えたいと思います。
「次のPDE
・ Vt=Vxx＋x/2・Vx＋V/2 x∈{x>0} , t>0
・ V(x,0)=f(x) x∈{x>0} , t=0
・ V(0,t)=g(t) , Vx(0.t)=h(t) x=0 ,t>0
に関して(・は掛け算の意味、Vtはtについての導関数、Vxはxについての導関数) f∈C^2({x>0})
かつ、g,h∈C^1({t>0})
のとき、解Vについて考えているのですが、これは既に解の性質として知られていますか？または解Vは解くことができますか？ 」
これは熱方程式にx/2・Vx＋V/2が加わったものなので、単純に見えるのですが。
ちなみに変数分離型で
V=a(t)b(t)とすると
a(t)=e^tでbは
b''(x)＋x/2・b'(x)-b(x)/2 =0
の解が得られるので、もしf(x)がb(x)ならばokですが、一般にf(x)は任意に与えるのでこれでは分からないと思います。問題はf(x)を任意に与えたときに解がどうなるかを使ってぜひ考えてみたいと思いますが、これが既に知られているかどうか気になるのでお願いします
補足
解答ありがとうございます。 ある程度理解はできたのですが右辺がsinの場合の違いがいまいちわからないので補足いただけるとありがたいです。