指数に関係する問題です

質問

ｘ　　　　ｘ　　　２
９　＋２a・３　＋２a　＋aー６＝０
というXの方程式が正の解と負の解をそれぞれ
ひとつづつもつとき定数aの値のとる範囲を求
めなさい

上の段のXと２は指数です。
わかりづらくてすいません
９と３に指数Xがつき、2anのaに指数の２がついてる状態です
どなたか回答解説お願いします

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

＞＞＞上の段のXと２は指数です。わかりづらくてすいません

９^x　＋　２ａ・３^x　＋　２ａ^2　＋　ａ　－　６　＝　０
と書くと良いですよ。

ｔ　＝　３^x　と置くと、
９^x　＝　（３^2）^x　＝　（３^x）^2　＝　ｔ^2
なので、

ｔ^2　＋　２ａｔ　＋　２ａ^2　＋　ａ　－　６　＝　０

また、ｔ　＝　３^x　であり、３^0 ＝　１　なので
ｘ＞０　のときは　ｔ＞１
ｘ＜０　のときは　ｔ＜１

つまり、この問題は、

ｔ^2　＋　２ａｔ　＋　２ａ^2　＋　ａ　－　６　＝　０
が、１より大きい解と１より小さい解を１つずつ持つときの
ａの範囲を求めよ

という問題にすり返ることができました。

ここまで来れば、なんとかなるでしょう。

お礼

解答解説ありがとうございました。

ｔの範囲のことを考えたら
とんとん拍子でできました

回答No.5

alice_44

つい、No.1 ,4 のようにやりがちだから、
No.2 をよく読んで理解しておくといい。
No.4 に「かつ f(0)＞0」の条件を添えると
完璧になる。

三角関数の入った方程式なんかも要点は同じ
だから、このバターンは知っておくと
役に立つ。

お礼

解答解説ありがとうございます

「かつ f(0)＞0」の条件をすっかり
わすれていました

回答No.4

info22_

3^x=t(>0)とおくと与方程式は次のようになる。
t^2+2at+(2a-3)(a+2)=0　…(1)
変形して
f(t)=(t+a)^2+(a-2)(a+3)=0 …(2)
xが正根と負根を持つということは
(1)の方程式のtで言えば1より大きい根と小さい根をもつということですから、f(1)<0であれば良い。
f(1)=(1+a)^2+(a-2)(a+3)=2a^2+3a-5=(a-1)(2a+5)<0
∴-5/2<a<1

なお、質問者さんの方で上記の導出過程をフォローして確認してみてください。

補足

解答解説ありがとうございました

（２）の式変形で
ときやすくなりました

回答No.3

w0col

久しぶりに数学をやるので合っているか定かではないのですが、
注　^は次の数が指数ということです。

まず3^Xをわかりやすく別の文字Aとおきます。

ここで注意点
A=3^Xとおいたことで
3^X>0なので同様にA>0となります。

すると与式は
A^2+2aA+2a^2+a-6=0…＊
となります。
ここで＊は二次関数という事に気づくと思います。
そして問題文から、Xが正負の解をひとつずつ持つということで、同様にAも二つの解を持つので、二次関数＊の判別式が正になり、解を二つ持てばいいと考えられます。
しかし、A≠0なのでA=0になる場合を除いて、
よって
-3<a<2 但しa=-2及び3/2を除く。

ではないでしょうか？
簡略化の為、途中式は省略させていただきました。
間違っていたらすみません。
長文失礼しました。

お礼

解答解説ありがとうございました

回答No.2

naniwacchi

#1さんの回答に、少し補足します。
（結構、重要なポイントですので）

＞ｘ＜０　のときは　ｔ＜１
０＜ｔ＜１となります。（3^x自身、負の数になることはありません。）
すると

＞１より大きい解と１より小さい解を１つずつ持つときの
０と１の間に１つの解をもち、もう１つの解は１よりも大きい
ということになります。

あとは、y= f(t)のグラフを考えてみて、必要な条件を与えられれば aの範囲は求まります。
答えは、「結構狭い」範囲になると思います。

お礼

解答解説ありがとうございました

ｔの範囲をうまく抑えることができたので
解くことができました