微積の問題

質問

xの方程式x^3-3x^2-24x+a=0が次に示す解をもつような　aの値、または、aの値の範囲を求めよ

・異なる2つの正の解と1つの負の解を持つ。

-x^3+3x^2+24x=a と変形したら何をすればいいのか・・・わかりません

とき方を教えてください

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

＞-x^3+3x^2+24x=a と変形したら何をすればいいのか

y=-x^3+3x^2+24x
y=a
とおいて、上の２つのグラフの交点を調べます。
グラフを描くのに微分を利用し、増減を調べます。
また、極値も求める必要があります。
（交点が３つあり、かつ２つの交点はx>0, １つの交点はx<0の範囲になるようにaの範囲を定めます。）

補足

増減はx<-2の時に減少・-2<x<4の時に増加・4<xの時に減少ですよね？
極大値はx=4の時に80・極小値はx=-2の時に-28ですよね？

ちなみに答えはど-なるのですか？

回答No.5

shkwta

No.4です。

＞答えは「0<a<4」ですか
違います。グラフを描けば、そんな答はでないはずなんですが…もしかして、縦と横をまちがえていませんか？

y=aのグラフは、x軸に《平行な》直線です。また、このグラフがy軸と交わる点のy座標がaです。

とにかく、グラフを描いて調べてください。

回答No.4

shkwta

No.2です。

＞増減はx<-2の時に減少・-2<x<4の時に増加・4<xの時に減少ですよね？
＞極大値はx=4の時に80・極小値はx=-2の時に-28ですよね？

ＯＫです。そこまでできたら解けたも同然です。

y=aのグラフはx軸に平行な直線です。x軸からの高さがaです。aをいろいろ変えて、三次式のグラフと交点がどう変わるか調べてください。

aが、極小値と極大値の間にあるときだけ、交点が３つあることがわかりますね？

さて、こんどは、交点のうち２つはxが正で、１つはxが負になるようにすることを考えます。
３つの交点のうち、１つは必ずxが負で、もう１つは必ずxが正ですね。

問題は交点のうち残りの１つです。これは、xが負にも正にもなります。その境界はどこでしょう。ヒントは、

y=-x^3+3x^2+24x

このグラフは原点を通ります！
はい、答が出たでしょう。

補足

ありがとうございます。
分かりやすかったです。間違えてるかもしれないけど…答えは「0<a<4」ですか・・・？

回答No.3

0sige0

私も高校生のとき始めは戸惑った問題ですｖ
理屈さえ分かれば大丈夫ですよ。

-x^3+3x^2+24x=aと変形ましたよね。
このとき、右辺と左辺をまったくの別物として考えるんです。
y=-x^3+3x^2+24x・・・(1)
y=a　　　　　　・・・(2)
とおいて２式の解が『異なる2つの正の解と1つの負の解を持つ。』ならいいんです。
ここで、まず(1)をグラフに描きます。
次に(2)を同グラフ上に描きますが、aは変数なので定まりませんよね。ですから、適当に線を引いてみて、２式の交点が『条件』を満たしていれば、その範囲が答えとなるわけですｖ

以上の説明、如何でしょうか。

補足

答えはど-なるのですか？

どこに線を引いたら良いのか分かりません…

回答No.1

HyakSei

-x^3+3x^2+24x=0
とおいてみてください。そしてグラフを描きます。
つぎにX軸に平行な直線を上からおろしてきます。そしてその直線と-x^3+3x^2+24x=0の曲線の交点のX座標が-x^3+3x^2+24x=aの解となります。
もうわかりましたね？その直線のy座標がaの値なのです。上から直線をおろしたときに、問題文の要求する交点ができるaの範囲を出せばよいのです。

補足

グラフを書くとこうなりますよね？
http://n.pic.to/ccs

これにX軸に平行な直線を上からおろしていってもよく分からないのですが・・