和算図形 画像つき

質問

図で四角形は正方形。
乙円の半径１。
このとき、小斜の長さを求めよ。
つぎのことは分かりました。
小斜を延長したとき、辺との交点は円と辺との接点になる。

大斜についてはどうなっているかはよくわからない。
これがわかればとけると思うが、うまくいかない。

よろしくお願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

正方形の左辺と上辺と、小斜の延長線とでできる直角三角形を考えると、
三平方の定理と角の二等分線の性質から、三角形の辺の比率は、３：４：５であることが分かります。

同様に、正方形の下辺と、左辺の延長線と、大斜の延長線とでできる直角三角形の辺の比率も、３：４：５であることが分かります。

よって、小斜と大斜と正方形の右辺とでできる三角形の辺の比率も、３：４：５となり直角三角形です。
その三角形の内接円の半径が１なので、それぞれの辺の長さは３，４，５となります。

正方形の辺の長さは５、甲円の直径は5/2であり、
小斜を延長して正方形の左辺との交点までの長さは25/4なので、それから下の甲円の内部にある部分の長さ２を引くと、
小斜の長さは、17/4となります。

問題の図から作られる直角三角形がことごとく３：４：５の比になっていることが分かれば解けるのではないでしょうか。

お礼

左の辺と小斜との交点が接点を通ることより、３：４：５であることは、簡単に分かったのですが、他にも３：４：５があることは分からなかったので、再度考えてみたいと思います。レベル的には高校生以上とあったので、必死になって考えています。
左の辺の延長と大斜の延長との交点ができるので、左の辺の延長部分の長さを求めようと考えたり、方べきの定理が使えないかとか、いろいろ考えましたが、うまくいきませんでした。
ありがとうございました。

回答No.2

momordica

私も初め、大斜と小斜は直交するのかと思って、＃1さんと同じように考えましたが、
残念ながらこの2直線は直交しません。

正方形の上の辺と右の辺に接するように、甲と同じ大きさの円をもう一つ書き、
その円に、正方形の右下の頂点から引いた接線を大斜とするなら、小斜と大斜は
直交し、図中の直角三角形はすべて３：４：５の辺の比になるので、
頑張れば小学生の算数でも何とかなる問題です。

しかし、問題の図の大斜はこれとは一致しませんから、答はそう簡単にはなりません。
計算がややこしくなったので、最後まで計算してみてはいませんが、この図に従うと、
答はどう考えても無理数です。

和算というもののルールはよく存じませんが、三平方の定理や、平方根などという
概念は使ってもいいものなんでしょうか。

お礼

和算の問題ですけれども、それを意識しないで知っていることを
すべて使って解こうと考えています。

小斜を延長したときの直角三角形は３：４：５というのはすぐ分かりますが、他はわかりませんでした。確認したいと思います。
ありがとうございます。