図形の問題

質問

弟に高校入試対策の図形の問題を聞かれ、答えられなくて困ってます。

図がないのですが、問題は
「正方形ABCDの辺BC上に適当に点Eをとり、∠EADの二等分線と辺CDとの
交点をFとするとき、AE=BE+DFであることを証明しなさい。」

初めから手が出せなかったのですが、AFの延長線とBCの延長線の交点を仮に
Gとすると∠EAG=∠EGAとなり三角形EAGが二等辺三角形になることに気付いて
AE=EG=BE+DFを証明すればいいだろうということは思いつきました。
しかしその先がさっぱりです。
もしかすると、初めから考えが間違ってるかもしれないですが、
分かる方は教えてください。お願いします。
質問投稿日時：08/12/16 23:30
質問番号：4561485

回答No.4

owata-www

図形的に…　と思ったら、＃２さんがやってましたね

補足すると
∠ＥＡＤ’＝∠ＦＡＢ（∠ＦＡＤ＝∠ＦＡＥ＝∠ＢＡＤ’より）
＝９０°－∠ＦＡＤ＝９０°ー∠ＢＡＤ’なので、
∠ＥＡＤ’＝∠ＥＤ’Ａ
だから…です。

回答No.3

i7010_man

間違えました。。
　×　三角形ABD'が二等辺三角形になればいい
　〇　三角形AED'が二等辺三角形　　でした。すいません。

回答No.2

i7010_man

正方形の左外に、△ADFと合同な三角形(△A'D'F'とする)をつけたします。ABとA'D'が重なるようにして、△ABD'が二等辺三角形であることを示せればOKです。
　証明分の書き方としては、
BCをBの方に延長し、DF＝BD'となる点D'をとる。
　で始めます。
△ABD'が二等辺三角形であることの証明は、合同と錯覚から言えると思います。
　がんばってください！

回答No.1

owata-www

わかりやすいように、ＡＢ＝１、ＢＥ＝ｘ、ＤＦ＝ｙと置きます。
また、ＦからＡＥに下ろした垂線の足をＨとおきます。

まず、三角形ＡＢＥにおいて三平方の定理より
ＡＥ＝√（１＋ｘ＾２）…(1)です。
また、三角形ＥＣＦにおいてＥＦ＝√｛（１－ｘ）＾２＋（１－ｙ）＾２｝…(2)です。
ここで、∠ＨＡＦ＝∠ＤＡＦ、ＡＦ共通、∠ＦＨＡ＝∠ＦＤＡ＝９０°より、△ＨＡＦ≡△ＤＡＦなので、ＦＨ＝ＤＦ＝ｙ、ＨＡ＝ＤＡ＝１です。
(1)からＥＨ＝√（１＋ｘ＾２）－１です。
ここで、△ＦＥＨで
ＦＥ＾２＝ｙ＾２＋｛√（１＋ｘ＾２）－１｝＾２
なので、(2)と比較するとｙ＝√（１＋ｘ＾２）　－ｘ
となります。
つまりＢＥ＋ＤＦ＝ｘ＋√（１＋ｘ＾２）　－ｘ＝√（１＋ｘ＾２）　＝ＡＥ　//

まあ、もっと簡単な方法もあると思いますが