和算図形

質問

図で四角形は正方形。
乙円の半径１。
このとき、小斜の長さを求めよ。
つぎのことは分かりました。
小斜を延長したとき、辺との交点は円と辺との接点になる。

大斜についてはどうなっているかはよくわからない。
これがわかればとけると思うが、うまくいかない。

よろしくお願いします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

もう１つの方が締め切ってあったので、最後の手段、座標計算の
結果を参考までに。
正方形の１辺が(７＋√17)/２　（＝約５.５６）
答えの線分の長さが(17/20)*(正方形の１辺)　（＝約４.７３）
でした。
それらから推測してわかったことは、
・大斜の延長と正方形の左の辺の延長、および正方形の上の辺で
　囲まれる三角形が、乙円と正方形の右の辺との接点と乙円の中心
　を通る直線および大斜と正方形の右の辺で囲まれる三角形が合同
　になるらしいこと。（理由がわかりません）
　それによって、正方形の１辺をｘとすれば、三角形の相似から
　　{(7/4)ｘ－２}：ｘ＝(1/4)ｘ：１　で
　(1/4)ｘ^2－(７/４)ｘ＋２＝０
　→　ｘ^2－７ｘ＋８＝０　を解く事になるようです。
・それと、三角形の相似で、正方形の右上のかどから乙円と正方形
　の右の辺との接点までの長さは２であることも使っています。

お礼

・大斜の延長と正方形の左の辺の延長、および正方形の上の辺で
　囲まれる三角形が、乙円と正方形の右の辺との接点と乙円の中心
　を通る直線および大斜と正方形の右の辺で囲まれる三角形が合同
　になるらしいこと
このこのについて考えてみたいと思います。
座標に置き換えるのは、わかりやすいと思いました。
ありがとうございました。

回答No.2

nag0720

画像つきのほうで回答した＃１です。
あちらが締め切られていたので、こっちに回答します。

失礼しました。計算ミスでした。
正方形の下辺と、左辺の延長線と、大斜の延長線とでできる直角三角形の下辺と左辺の比は、8：(9+√17)　でした。

小斜と大斜と正方形の右辺とでできる三角形と、小斜と大斜と正方形の左辺の延長線とでできる三角形は、相似で、
相似比は、8：(7+√17)

正方形の辺の長さをaとすると、
小斜と大斜と正方形の右辺とでできる三角形の右辺を底辺としたときの高さ（小斜と大斜と交点から右辺までの距離）は、
相似の関係から、
高さ＝8a/(8+7+√17)＝(15-√17)a/26
小斜部分の長さは、
5(15-√17)a/104
大斜部分の長さは、
3(7√17-1)a/104
内接円の半径が１なので、
面積＝(３辺の和)/2　の関係式より、
a=(7+√17)/4

あとは、前回の回答と同じ計算で、
小斜＝17a/20＝17(7+√17)/80

和算でも、三平方の定理や平方根は表現のしかたは今とは違っているとは思いますが、概念としてはあったと思いますので、使ってもいいのではないでしょうか。

お礼

正方形の下辺と、左辺の延長線と、大斜の延長線とでできる直角三角形の下辺と左辺の比は、8：(9+√17)　を考えてみたいと思います。
ありがとうございました。