図形

質問

(1)
一辺10cmの正三角形の中に、10個の同じ半径の円が詰まっている。これらの10個の円の面積の総和について

図は、正三角形の中に円が10個あり、4段です。
一番下の段から4,3,2,1と並んでいます。

円の半径をrとするのはわかるのですが、
どのように求めるのかわかりません。

(2)
一辺が10cmの正方形の中に、同じ大きさの２つの円が接している。この円の半径はいくら

これも同じく、円の半径をrとしていきます。
しかし、どのように求めるのかわかりません。

お願いします
正方形の中の２つの円は左上と右下に１ずつならんでいます。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。
先程、一つ後ろの問題に回答させていただきましたが、
これも同様にして考えていけばいいですね。

(1)
一番下の段には、４つの円が接していますよね。
その一番左っかわの円の中心をP、中心から大きな正三角形の底辺BCに
おろした垂線の足をQとしましょう。

PQ=半径＝ｒです。
∠PBQ=３０°です←ここが、一つあとの問題でも使った考え方。

△PBQにおいて、
∠PBQ=３０°、∠PQB=９０°ですから
PB:PQ:BQ=２：１：√３
PQ=ｒとしましたから、BQ=√３ｒです。

さて、図を良く見てみると、一番したの段には、円が４つ。
一番左と右のはしは、√３ｒが２つ分。
その間には、半径が６つ分並んでいるので、

√３ｒ＋６ｒ＋√３ｒ＝正三角形の底辺＝１０センチ

２（√３＋３）ｒ＝１０
ｒ＝５/（３＋√３）＝５（３－√３）/６←分母を有利化しています。

ところで、円の１０個分の面積は、
１０×ｒ×ｒ×Π
ですから
１０×ｒ×ｒ×Π＝１０×{5(3-√3)/6}^2×Π
＝２５０（３－√３）＾２Π/３６
＝２５０＊６＊（２－√３）Π/３６
＝１２５（２－√３）Π/３・・・（答え）

(2)
これも、上の問題と似ていますね。
図を描けば、
４５°、４５°、９０°の直角３角形を使うことが分かると思います。

正方形をABCD
Aの近くに接している円の中心をO
OからABにおろした垂線の足をPとしましょう。
△OPAは４５°、４５°、９０°の直角３角形ですね。

∠OAP=45°なので、
円の半径をｒとすると、
OA:AP:OP=√２：１：１ですから、
OP＝ｒとおいたので、AO=√２ｒ

全体の図を見ると、斜辺のところに、√２ｒが二つ、
ｒが二つ分になっていますよね。

√２ｒ＋ｒ＋ｒ＋√２ｒ＝斜辺＝√２×１０cm
２（√２＋１）ｒ＝√２＊１０
ｒ＝５√２/（√２＋１）
ｒ＝５√２（√２－１）←分母を有利化しました。

のように求めることができます。
頑張ってくださいね。

お礼

いつもお世話になっています。
ありがとうございます

回答No.1

crazy_dog

こんにちは

(1)のみヒント
△ABCとします。
AB及びBCに接している円を考えます。(一番下の左端)
その円の中心をOとする。
頂点Bから中心Oに線を引きます。
中心Oから線分BCに垂直に降ろした線との交点をPとする。
BPの長さは？(△BOPは直角三角形、∠OBP＝30°)
同じように、BCとCAに接している円の中心をQとすると
OQの長さは？(円は半径r)
QからBCに垂直に降ろした線との交点をSとすると
SCの長さは？
OP+OQ+SC＝10(cm)から、半径rが求まりそうです。