連立方程式の実数の存在条件

質問

p^2+q^2+ap+bq+c＝0・・・(1)
s^2+t^2+as+bt+c＝0・・・(2)
u^2+v^2+au+bv+c＝0・・・(3)

連立方程式(1)、(2)、(3)において
実数a,b,cが存在するための実数p,q,s,t,u,vの必要十分条件を求めたいのですが、どのように考えればよいでしょうか？

文字が多すぎて手が付けられません。
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

考え方だけを記します。

＞実数a,b,cが存在するための実数p,q,s,t,u,vの必要十分条件を求めたいのですが、どのように考えればよいでしょうか？

　この問題は、３次元空間ａｂｃにおいて、３平面（１）～（３）の共通する点（または、線、面）が存在する条件を求めれば良いように思います。
　その条件は、次のケースに分けられると思います。

１）３平面が一致する場合　（共通部分は平面）
　　　３平面の法線ベクトルが一致し、「共通の点」を通る。

２）２平面の交線を残りの１平面が含む場合　（共通部分は直線）
　　　{（n1×n2)・n3}＝０　　（n1,n2,n3：３平面の法線ベクトル、「・」は内積、「×」は外積）
　　かつ
　　　「２平面の交線上の１点」を他の１平面が通る。

３）２平面の交線と残りの１平面が交わる場合　（共通部分は点）
　　　（n1×n2)×(n1×n3)≠０　　（n1,n2,n3 ３平面の法線ベクトル）

　あるいは、逆に、「実数a,b,cが存在しないための条件」をケースを次のように分けて考えても良いかもしれません。

４）　いずれかの２平面が平行な場合
　　いずれかの２平面の法線ベクトルが平行で、その２平面が一致しない。

５）　２平面の交線と残りの１平面が平行な場合
　　　　{（n1×n2)・n3}＝０　　（n1,n2,n3：３平面の法線ベクトル、「・」は内積、「×」は外積）
　　かつ
　　　　２平面の交線を　残りの１平面が通らない。
　　　　（交線上の１点と残りの１平面との距離が０でない。）

お礼

大変詳しいご回答どうもありがとうございます！

円で考えることに執着しておりました。
３平面で考えるのですね。

３平面が交わる条件が式で表せることを初めて知りました。
どうもありがとうございます。

「実数a,b,cが存在しないための条件」を考えると
実は条件（４）は不適なので、
条件（５）のみを考えればよく圧倒的に楽ですね。^^

{（n1×n2)・n3}＝０　（ただしn1＝n2＝n3の場合を除く）
がNo.5さんの「A,B,C が一直線上にある異なる3点」と
同値である事も確認できました。

どうもありがとうございました。

回答No.6

alice_38

No.2 No.4 です。よく見たら、
p～v が存在するための a～c の条件じゃなくて、
a～c が存在するための p～v の条件なんですね。
逆をやってました、恐縮です。

a～c が存在する条件なら、簡単です。
単なる連立一次方程式ですから、
解の存在条件は、線型代数の教科書に
一般論が書いてあります。

結論としては、行列
p q 1
s t 1
u v 1
と
p q 1 p~2+q~2
s t 1 s~2+t~2
u v 1 u~2+v~2
の
rank が等しいことが、必要十分条件です。

お礼

再度のご回答どうもありがとうございます。

線形代数を学ぶとずいぶんとシンプルに解けるのですね。^^
線形代数はまだ少ししか勉強していなく、rankまでは分からないので、理解できないのが残念です。
早く到達できるように頑張ります。

どうもありがとうございました。

回答No.5

mis_take

(1)(2)(3)を満たす実数a,b,cがある
⇔ A(p,q),B(s,t),C(u,v) を通る円がある
⇔ 「A,B,C が一直線上にある異なる3点」ではない

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

私もそのように考えておりました。

> A(p,q),B(s,t),C(u,v) を通る円がある
>⇔ 「A,B,C が一直線上にある異なる3点」ではない

証明したい部分はまさにこの部分なんです。

回答No.4

alice_38

No.3 の解法は、論理的に正しいです。
No.2 No.3 両方の方法で、実際に解いてみれば、
それぞれの特長が、よく判るでしょう。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

Ｎo.2の解法ですが、平方完成とは
(p+a/2)^2+(q+b/2)^2＝1/4(a^2+b^2)ーc　として
1/4(a^2+b^2)ーc≧0
ということでしょうか・・・

これだとa,b,cの条件になってしまうような気が・・・

Ｎo.3さんの解法はすごいですね。

回答No.2

alice_38

文字が多いように見えるのは、コケ威しです。
(1) は p,q だけの方程式、
(2) は s,t だけの方程式、
(3) は u,v だけの方程式
で独立している上に、どれも同じ方程式ですから、
a,b,c の条件としては、式は一つしかない
のと同じことです。

円の方程式の形をしていることに気づけば、
p,q それぞれについて平方完成して、
半径の２乗が負にならないように
してやるだけです。

回答No.1

LOHA

なんだか懐かしい問題です。

いまは全く解ける自信がありませんが、とりあえず最初のきっかけは
p = αcosθ
q = αsinθ
とする（s,t,u,vも同様に）ような気がします。

投げやりすぎですが終ります。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。

置き換えは私も考えたのですが、それだと最初から（p,q）が円上を動くと限定されてしまって不都合が起こるような気がします・・・

御協力どうもありがとうございます。