連立方程式

質問

こんばんは。
本来はＮ元連立方程式を考えているのですが、ここでは５元連立方程式として質問させていただきます。
今、下記の5元の連立方程式を考えます。
u[0]-2*u[1]+u[2]=a
u[1]-2*u[2]+u[3]=b
u[2]-2*u[3]+u[4]=c
u[3]-2*u[4]+u[5]=d
u[4]-2*u[5]+u[6]=e
（a～eは定数で、左辺はu"を差分表示したものです）
これでは方程式の数が２つ少なくて解けないので、条件としてu[0]=u[5]、u[1]=u[6]とします。
上の条件を考慮して行列になおすと、
-2 1 0 0 1
1 -2 1 0 0
0 1 -2 1 0
0 0 1 -2 1
1 0 0 1 -2
となり、これをガウス・ジョルダン法で解こうと思っているのですが、行列式が0になってしまい解けません。つまりこの連立方程式は自明な解しか存在しないと言うことでしょうか？ガウス・ジョルダン法以外の別の解く方法か良いテクニックがありましたらアドバイスお願いします。
また分かりにくい場合は補足要求お願いいたします。

回答No.1

ElectricGamo · ベストアンサー

>行列式が0になってしまい解けません。

計算機を使わなくても手計算してみれば分かるのですが、この行列の行列式は0です。ですのでどの方法を用いても解けません。

では、なぜ解けないかなんですが、この定式化では具体的なuの値が定まりません。

>u[0]-2*u[1]+u[2]=a
>u[1]-2*u[2]+u[3]=b
>u[2]-2*u[3]+u[4]=c
>u[3]-2*u[4]+u[5]=d
>u[4]-2*u[5]+u[6]=e

これは2階微分に関する条件で、傾きを決めてます。

>u[0]=u[5]、u[1]=u[6]

これは、u[0]とu[5]、u[1]とu[6]が同じであることを言ってますが、具体的にuがどんな値になるかはどこにも与えられてません。

試しに得られた解に定数を足したもの(u=u+αとして代入してみて下さい)も上の式を全て満たしてしまいます。つまりこれを満たす解は無限にあるので、行列式は0です。

解を一意に定めるには、どこかにuの基準となる値を設定する必要があります。周期境界条件で与えるのなら、例えば、u[0]=u[6], u[0]=0 とすれば u の具体的な値が分かりますので一意に解けますし、その際の行列式は計算すると 0 にはなりません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
方程式が解けない理由は理解できました。つまりこの条件では、１つ値が分からなければ解けないということですね。
とても参考になりました。

回答No.2

keyguy

行列の第１列ベクトルをａとし
行列の第２列ベクトルをｂとし
行列の第３列ベクトルをｃとし
行列の第４列ベクトルをｄとし
行列の第５列ベクトルをｅとすると
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝０になっている。
つまり｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝は従属である。
従ってこの行列の行列式は０である。
ちなみに成分に０が非常に多い対称行列を係数行列とする高元連立１次方程式を解くのに有力な方法に変形コレスキー法があります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
コレスキー法さっそく調べてみました。
機会がありましたら使ってみようと思います。