連立微分方程式の問題

質問

x, u, v,を実数，a, τを実定数とする。次の連立微分方程式を解いてu, vを求めよ。
式は添付画像をご参照ください。

という問題です。

vを消去してuの微分方程式に書き換えたところ
d4y/dx4(u)+(4a^2)(d4y/dx4)(u)=0

という式が得られてこの式を解くことができなくて...

私は間違っているのかそれとも別のやり方でやるべきですか。

この連立微分方程式の解き方をご存知の方がいらっしゃいましたら、ご指導お願いします。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

>vを消去してuの微分方程式に書き換えたところ
d4y/dx4(u)+(4a^2)(d4y/dx4)(u)=0

間違いです。そもそもどこからyが出てくるのですか。

u,vはxのみの関数のようなので偏微分そのものが無意味です。

微分を基礎から見直してください。

正しくは最初の式をxで２回微分して

d^4u/dx^4+2a^2d^2v/dx^2=0

d^2v/dx^2に２番目の式を代入して

d^4u/dx^4+4a^4u=0

これは４階の斉次微分方程式。解をe^(px)とおいて

上の式に代入します。この辺は微分方程式の教科書を見て納得してください。

p^2=±2ia^2(iは虚数単位）

p=±(1±i)a

sin,cosを用いて書くと

u=e^ax(c1sin(ax)+c2cos(ax))+e^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax))

a>0とすると

x→±∞でuが0のためにはe^axがかかる部分は不適よって

u=e^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax))

du/dx=-ae^(-ax)(c3sin(ax)+c4cos(ax))+e^(-ax)(ac3cos(ax)-ac4sin(ax))

x=0では

du/dx=-ac4+ac3=0

ゆえに

c3=c4=c

du/dx=-2cae^(-ax)sin(ax)

vの式から

v=(-1/2a^2)d^2u/dx^2

d^2u/dx^2=-2ca^2e^(-ax)[sin(ax)+cos(ax)]

v=(-1/2a^2)d^2u/dx^2=ce^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)]

dv/dx=c[-ae^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)]+ce^(-ax)[-asin(ax)-acos(ax)]

=-2ace^(-ax)cos(ax)

x=0でdv/dx=-2ac=-τ

c=τ/2a

以上より

u=(τ/2a)e^(-ax)(sin(ax)+cos(ax))

v=(τ/2a)e^(-ax)[cos(ax)-sin(ax)]

お礼

ご回答ありがとうございました。

申し訳ありません。あれは書き間違いです。
最初は補助方程式のh^4+1=0の解き方がわからなかったです。
その解き方に気づいたら一気に解けました。

大変助かりました。
ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

そういえば, なんで偏微分なんだろう.

ちなみに, 一方に i を掛けて足したり引いたりしてもなんかなるかもね.

回答No.1

Tacosan

いや, v を消去してもそんな式にはならない.

そして, 正しく計算できれば u に関する 4階の線形微分方程式になるからさほど難しくない.

お礼

式の間違いを指摘していただいて、ありがとうございました。