連立三次方程式

質問

ｘ、yがそれぞれ、p,q,r,sを実数として、

　x^3+px+q=0
y^3+ry+s=0

の解の時、x+y　を解とする三次方程式はp,q,r,sを使って表現できるでしょうか？

（x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)

からｘ+y　の三次方程式が作れそうな気もしますが。
教えて下さい。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

これは質問者の方が本当は意図しているかによる。

例えば、方程式 x^3 + px + q = 0は3次方程式なので、Cardanoの解の公式があるから、xは p, q, 1の有限回の加減乗除、及び冪根（平方根と三乗根）で書ける。
同様に、y^3 + ry + s = 0を満たす yは、 r, s, 1 の有限回の加減乗除、平方根、三乗根の操作で書ける。

従って、x+yは、p, q, r, s, 1の有限回の加減乗除、平方根、三乗根の操作で書けるから、それを 何か f(p,q,r,s,1)とでも書いておけば、 x+yを解とする三次方程式は、例えば（当たり前だけど） z^3 - (f(p,q,r,s,1)) ^3 = 0とかが挙げられる。ただし、先程から書いてある通り、 fの式には平方根や三乗根が一般には入っている。

で、そうでなくって

> （x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)
> からｘ+y　の三次方程式が作れそうな気もしますが。

というコメントからして、例えば「p, q, r, sが例えば有理数（整数）として、x+yを解とする『有理数（整数）係数』の三次方程式は p, q, r, sを使って作れますか？」という事だとすると、これは一般には（ほとんどの場合）不可能で、x+yを解とする『有理数（整数）係数』の方程式は、大抵の場合9次方程式になる。
この辺は「体の拡大」の中の「有限次拡大」とかいう、所謂「Galois理論」の基礎となる分野であったり、「代数的整数論」とかいう分野であったりする。これを使わないにしても、どっちにしろ一般にn次（3次以上の）正方行列の行列式とは何か？とか言った知識が必要になるので、そう単純ではない。

お礼

回答ありがとうございます。
＞x+yを解とする『有理数（整数）係数』の方程式は、大抵の場合9次方程式に
なるほどです。それぞれ3個ずつ買いがあるので3×3＝9次の方程式になるという事ですね・・・・。

回答No.1

f272

x^3+px+q=0 からxはp，qで表現できる。
y^3+ry+s=0 からyはr，sで表現できる。
したがってx+yはp，q，r，sで表現できる。
ということはx+yを解とする三次方程式はp,q,r,sを使って表現できる。