三角形の内点角から長さを求める3変数連立2次方程式

質問

平面上に、△ABC(BC=a,CA=b,AB=cとします)と点Pがあり、∠BPC=α、∠CPA=β、∠APB=γ (α+β+γ=2π)となったとき、p=AP、q=BP、r=CPの長さを求めたく思いました。
余弦定理より、

a^2=q^2+r^2+qrcosα
b^2=r^2+p^2+rpcosβ
c^2=p^2+q^2+pqcosγ

この3変数連立2次方程式をp,q,rについて解くとどうなるのでしょうか？
具体的な解の表示を知りたく思います。

α=β=γ=2π/3のときには、
p={4S+(b^2+c^2-a^2)√3}/√6√(a^2+b^2+c^2+4S√3)
ただし、Sは△ABCの面積で、16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
などとなります。

回答No.1

178-tall

>α=β=γ=2π/3のときには、
>p={4S+(b^2+c^2-a^2)√3}/√6√(a^2+b^2+c^2+4S√3)
>Sは△ABCの面積で、16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
　　　↑
これは、いかにして導いたのでしょうか？

　a^2 = q^2 + r^2 - 2qr*cosα
　b^2 = r^2 + p^2 - 2rp*cosβ
　c^2 = p^2 + q^2 + 2pq*cos(α + β)　…　γ= π-α-β として

形式的に追っていくと、
　a^2 = q^2 + r^2 - 2qrcosα
　b^2 = r^2 + p^2 - 2rpcosβ
から p, q の r 表示を作り、
　q = rcosα±√{(rcosα)^2 + a^2 - r^2}
　p = rcosβ±√{(rcosβ)^2 + b^2 - r^2}
これらを、
　c^2 = p^2 + q^2 + 2pqcos(α + β)
へ代入すれば、r の無理方程式になる。

…解き方は？

お礼

ありがとうございます。

>これは、いかにして導いたのでしょうか？
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7502081.html
のご回答のように導けます。巧妙な式変形です。

または、△ABC の外部に，３点 A',B',C' を、３つの三角形 A'BC, AB'C, ABC' は正三角形で，互いに重ならないようにとうるとき、線分 AA', BB', CC' は１点 P で交わることを利用し、
図形から正弦定理などを使って、
AP=2bcsin(A+60°)/k√3 (ただし、2k^2=a^2+b^2+c^2+4S√3)
= {4S+(b^2+c^2-a^2)√3}/√6√(a^2+b^2+c^2+4S√3)
と導くことが出来ます。

今回の問題はその一般化ですが、APの式は複雑だがきれいな形になると思われるので、解法もですが、それよりも、その式の形を見てみたく思った次第です。