原点から直線におろした垂線の足の座標

質問

「原点から直線
(x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/cへおろした垂線の足の座標を求めよ。」という問題です。

解いてみました・・・。
(x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c=tとすると
x=at+p y=bt+q z=ct+r
∴この直線上の点Pは媒介変数tを用いて
P(at+p,bt+q,ct+r)とかける。
また、この直線の方向ベクトルｖはv=(a,b,c)であるから
v*(op)=a(at+p)+b(bt+q)+c(ct+r)=0とおくと
a^2*t+ap+b^2*t+bq+c^2*t+cr=0
(a^2+b^2+c^2)t=-ap-bq-cr
t=(-ap-bq-cr)/(a^2+b^2+c^2)
x=at+p=a*{(-ap-bq-cr)/(a^2+b^2+c^2)}+p
={(b^2+c^2)p-a(bq+cr)}/(a^2+b^2+c^2)
同様に
y={(a^2+c^2)q-b(ap+cr)}/(a^2+b^2+c^2)
z={(b^2+a^2)r-c(bq+ap)}/(a^2+b^2+c^2)
となりましたが・・・。もっと式を簡単にできないのかな？

回答No.1

m0n1teur

ベクトルを使うと少しは簡単になります。

U=(p,q,r)
V=(a,b,c) とおくと
直線上の点Pは任意の実数tで
P=U+tV
とかけます。
(P=(x,y,z)として各成分についてt= の式にすれば証明できます)

Pが原点から直線に下ろした足の交点なら
P・V=0
が成り立ちます。
(図を描けばわかると思います。)

変形して
(U+tV)・V=0
t=(U・V)/(V・V)
よって
P=U+V*{(U・V)/(|V|^2)}
となります。

これを展開すれば同じ結果になると思います。
(注:めんどくさいので確認していません)

お礼

お礼が遅れてしまい、申し訳ありませんでした。
ベクトルを使って自分でも解いてみました。
おっしゃるとおり、同じ結果になりました。
どうもありがとうございました。
また何かありましたら、よろしくお願いします。