大学受験数学についての質問です

質問

大学受験数学についての質問です
回答もらえず困っています
放物線y（２乗）=2x上の点P（a,b）上における法線をもとめよ

なのですが
まず、y（２乗）=2xより
y=±√2x x＞０
辺々微分して
法線をだしていくと
y=±b（x－a）＋b

となるのですが、回答には
y=－b（x－a）＋b

とあります
何が間違っていますか？おしえてください！

他のやり方でできることはわかっていますが、なぜこのやり方はだめなのか知りたいです

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

複号（±）の処理に気をつけると良いです。

　　y=±√(2x)、 x≧０
　　　⇒　ｂ＝±√(2a)　　　・・・・・・・（１）
　　ｙ’＝±１／√(2x)　　（複号同順）

　従って、法線の傾きは、

　　－１／ｙ’＝干√(2x)　（複号同順）

となりますので、式（１）を利用すると、点P(a,b)における法線の傾きは次のようになります。

　　干√(2a)＝－{±√(2a)}＝－ｂ　（複号同順）

　従って、点Ｐ（ａ，ｂ）における法線の方程式は次のようになります。

　　ｙ－ｂ＝－ｂ（ｘ－ａ）
　∴ｙ＝－ｂ（ｘ－ａ）＋ｂ

お礼

一番わかりやすかったのでBAにさせていただきます
他の２方も本当に、ありがとうございました！！！
お礼はこの場をもって代えさせていただきます、申し訳ありません。
皆様、また機会があったらよろしくおねがいします！

回答No.3

alice_38

a, b の値が具体的に与えられると、
点 (a,b) は、y = √(2x) と y = -√(2x) の
どちらか一方にしか載っていません。
それを選択せずに、±√(2x) の両方を採用
してしまったことが失敗です。
(a,b) を通らない曲線には、
(a,b) を接点とする接線は存在しません。

x = (y の一次式) の形で求めたほうが
楽ですよ。

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

＞y=±√2x x＞０
＞辺々微分して
＞法線をだしていくと
＞y=±b（x－a）＋b
この計算において、±1/√(2x)＝ ±1/yという変形をされていると思います。
（辺々微分して、接線の傾きを出すところ）
このとき y＞ 0ということを知らず知らずに使ってしまっています。
√(2x)＞ 0となるからです。

ここの変形を間違わなければ、符号を正しく導くことができます。

もう少し、スマートにするのであれば、
y^2＝ 2xの両辺を「このまま」微分して
2y* dy/dx＝ 2
dy/dx＝ 1/y（ただし、y≠ 0）

とすることで、符号の混乱を生まずに接線・法線の式を求めることができます。